FONCTIONS ANALYTIQUESFonctions d'une variable complexe

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Points singuliers isolés et résidus

On se propose ici, dans une première approche vers les points singuliers, d'étudier le comportement d'une fonction analytique dans un disque pointé 0 < |z − a| < r, c'est-à-dire dans un disque ouvert privé de son centre ; si f ne se prolonge pas en une fonction analytique dans le disque entier, on dira que a est un point singulier (isolé) pour f.

La série de Laurent

Un disque pointé 0<|z − a|<r est un cas particulier d'une couronne ouverte r1<|z − a|<r2 ; on va obtenir pour une fonction analytique dans une telle couronne S un développement en série généralisant le développement en série entière de centre a, valable seulement pour les fonctions analytiques dans tout un disque de centre a.

Il nous faut d'abord étendre la formule de Cauchy qui n'est pas applicable directement, puisque S n'est pas simplement connexe. Soit r et r′ tels que r< r r′ < r2 et soit γ et γ′ les cercles de centre a et de rayons r et r′ parcourus une fois dans le sens direct. On voit comme ci-dessus que, pour < |z − a| < r′, la fonction g définie par :

est analytique dans S. Puisque les lacets γ et γ′ sont manifestement homotopes dans S, le théorème de Cauchy (cf. chap. 4) affirme que les intégrales de g le long de γ et γ′ sont égales. On a donc :
d'où, puisque j(z ; γ) = 1, j(z ; γ′) = 0,
qui généralise (24).

Série de Laurent

Dessin : Série de Laurent

Dessin

Développement en série de Laurent 

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Remarquons alors que (en supposant, dans le calcul qui suit, a = 0 pour simplifier, ce qui ne retire aucune généralité), d'après le choix de z, < |z| < r′, la série :

converge uniformément pour |u| = r′, car alors |u/z| = |z|/r′ < 1 ; on peut donc intégrer terme à terme sur γ′ et on obtient :
avec :
en fait, ces coefficients an ne dépendent pas de r′, car la fonction (u)/un+1 est analytique dans S et, par suite, d'après le théorème de Cauchy, on peut remplacer γ′ par n'importe quel cercle concentrique (contenu dans S) parcouru dans le sens direct, puisqu'il est homotope à γ′. Ainsi la série entière définie dans (29) converge pour tout z de module < r2 ; donc elle a un rayon de convergence ≥ r2 et, par suite, f1 se prolonge en une fonction analytique pou [...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 février 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-d-une-variable-complexe/