FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Points singuliers isolés et résidus
On se propose ici, dans une première approche vers les points singuliers, d'étudier le comportement d'une fonction analytique dans un disque pointé 0 < |z − a| < r, c'est-à-dire dans un disque ouvert privé de son centre ; si f ne se prolonge pas en une fonction analytique dans le disque entier, on dira que a est un point singulier (isolé) pour f.
La série de Laurent
Un disque pointé 0<|z − a|<r est un cas particulier d'une couronne ouverte r1<|z − a|<r2 ; on va obtenir pour une fonction analytique dans une telle couronne S un développement en série généralisant le développement en série entière de centre a, valable seulement pour les fonctions analytiques dans tout un disque de centre a.
Série de Laurent
Encyclopædia Universalis France
Série de Laurent
Développement en série de Laurent
Encyclopædia Universalis France
Il nous faut d'abord étendre la formule de Cauchy qui n'est pas applicable directement, puisque S n'est pas simplement connexe. Soit r et r′ tels que r1 < r < r′ < r2 et soit γ et γ′ les cercles de centre a et de rayons r et r′ parcourus une fois dans le sens direct. On voit comme ci-dessus que, pour r < |z − a| < r′, la fonction g définie par :
Remarquons alors que (en supposant, dans le calcul qui suit, a = 0 pour simplifier, ce qui ne retire aucune généralité), d'après le choix de z, r < |z| < r′, la série :
Revenant au cas d'un point a ∈ C, énonçons les résultats précédents. Soit S une couronne r1 < |z − a| < r2 ; toute fonction f analytique dans S peut s'écrire :
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Pour citer cet article
Jean-Luc VERLEY, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL :
Médias
Connexité
Encyclopædia Universalis France
Connexité
Connexité
Encyclopædia Universalis France
Primitive
Encyclopædia Universalis France
Primitive
Primitive d'une fonction analytique
Encyclopædia Universalis France
Théorème de Cauchy
Encyclopædia Universalis France
Théorème de Cauchy
Démonstration du théorème de Cauchy
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
- 159 mots
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans...
-
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 7 504 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x 2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x 0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x 0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 4 431 mots
- 1 média
...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
- 5 500 mots
- 1 média
... tReh(x+iy) , appelé le relief de e th(z) . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... -
BOREL ÉMILE (1871-1956)
- Écrit par Maurice FRÉCHET
- 2 016 mots
-
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire
- Écrit par Martin ZERNER
- 4 723 mots
Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme :où Φ est une fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par ...
- Afficher les 20 références
Voir aussi
- CONVERGENCE, mathématiques
- LIOUVILLE THÉORÈME DE
- DÉTERMINATION PRINCIPALE DU LOGARITHME
- CAUCHY-RIEMANN ÉQUATIONS DE
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- MÉROMORPHE FONCTION
- POINT SINGULIER
- RÉSIDUS THÉORÈME DES
- PROLONGEMENT ANALYTIQUE
- RIEMANN SURFACE DE
- POINT RÉGULIER
- RUNGE THÉORÈME DE
- SCHWARZ PRINCIPE DE SYMÉTRIE DE
- PÔLE, mathématiques
- SCHWARZ LEMME DE
- ZÉROS ISOLÉS PRINCIPE DES
- ZÉRO ORDRE D'UN
- SÉRIES ENTIÈRES
- RAYON DE CONVERGENCE
- FONCTION ANALYTIQUE ÉLÉMENT DE
- MITTAG-LEFFLER THÉORÈME DE
- MORERA THÉORÈME DE
- INDICE D'UN POINT
- LAURENT SÉRIES DE
- INTÉGRALE CURVILIGNE
- HADAMARD FORMULE D'
- LACET, mathématiques
- HOMOTOPIE
- MOYENNE PROPRIÉTÉ DE
- MAXIMUM PRINCIPE DU
- CAUCHY INÉGALITÉS DE
- CHEMIN, mathématiques
- CONNEXE SIMPLEMENT
- CAUCHY THÉORÈME DE
- CONNEXE ESPACE
- DOMAINE, mathématiques
- CONNEXES COMPOSANTES
- DÉRIVATION COMPLEXE
- PRIMITIVE, analyse mathématique
- TRAJECTOIRE, mathématiques
- TAYLOR FORMULE DE
- OUVERT, mathématiques
- WEIERSTRASS THÉORÈME DE FACTORISATION DE
- CONVERGENCE UNIFORME
- DÉRIVATION, analyse mathématique
