NORMÉS ESPACES VECTORIELS

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Intégration des fonctions à valeurs vectorielles. Mesures à valeurs vectorielles

L'intégration des fonctions à valeurs vectorielles et les mesures à valeurs vectorielles sont des outils intéressants qui permettent en particulier grâce à des théorèmes de représentation de mieux étudier certaines propriétés géométriques des espaces de Banach.

Intégration des fonctions à valeurs vectorielles

(Ω, T, μ) est un espace mesuré par une mesure positive finie μ ; X est un espace de Banach et BX est la tribu borélienne de X (cf. intégration et mesure). Une application f de Ω dans X est dite fortement mesurable si c'est une application mesurable (c'est-à-dire si l'image réciproque par f de tout élément de BX est un élément de T) et s'il existe un sous-espace fermé séparable X0 de X et un élément Ω0 de T de mesure nulle tels que (Ω − Ω0) ⊂ X0.

Une application f de Ω dans X est dite simple si elle est mesurable et si son image est un sous-ensemble fini de X.

Une fonction simple non nulle s'écrit alors de manière unique sous la forme :

où les xi sont des éléments non nuls deux à deux distincts de X, où les Ai sont des éléments non vides deux à deux disjoints de la tribu T et où XAi est la fonction caractéristique de l'ensemble Ai. On peut alors définir l'intégrale de la fonction simple nf =  XAi xi par rapport à la mesure μ en i = 1posant :
(on attribuera à la fonction nulle l'intégrale 0).

Toute fonction f de Ω dans X, fortement mesurable, est limite presque partout d'une suite de fonctions simples ; cela nous suggère de définir l'intégrale de certaines fonctions fortement mesurables grâce à une approximation par des fonctions simples ; cette démarche est possible grâce au lemme suivant :

Lemme. Soit (n1)n et (n2)n deux suites de fonctions simples qui convergent presque partout vers la même fonction simple f et telles que, pour i = 1 et 2, lim ∫Ω ∥in(ω) − mi(ω)∥dμ = 0. Alors, les n→∞

m→∞

limites lim ∫A in(ω) dμ (i = 1 et 2) existent n→∞

pour tout A élément de T (et même uniformément par rapport à A) et sont égales.

On peut donner alors la définition suivante :

Définition. Une fon [...]


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  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY, « NORMÉS ESPACES VECTORIELS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 25 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/