NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Intégration des fonctions à valeurs vectorielles

(Ω, T, μ) est un espace mesuré par une mesure positive finie μ ; X est un espace de Banach et B_X est la tribu borélienne de X (cf. intégration et mesure). Une application f de Ω dans X est dite fortement mesurable si c'est une application mesurable (c'est-à-dire si l'image réciproque par f de tout élément de B_X est un élément de T) et s'il existe un sous-espace fermé séparable X₀ de X et un élément Ω₀ de T de mesure nulle tels que f (Ω − Ω₀) ⊂ X₀.

Une application f de Ω dans X est dite simple si elle est mesurable et si son image est un sous-ensemble fini de X.

Une fonction simple non nulle s'écrit alors de manière unique sous la forme :

Toute fonction f de Ω dans X, fortement mesurable, est limite presque partout d'une suite de fonctions simples ; cela nous suggère de définir l'intégrale de certaines fonctions fortement mesurables grâce à une approximation par des fonctions simples ; cette démarche est possible grâce au lemme suivant :

Lemme. Soit (f _n¹)_n et (f _n²)_n deux suites de fonctions simples qui convergent presque partout vers la même fonction simple f et telles que, pour i = 1 et 2, lim ∫Ω ∥f ⁱ_n(ω) − f _mⁱ(ω)∥dμ = 0. Alors, les n→∞

m→∞

limites lim ∫A f ⁱ_n(ω) dμ (i = 1 et 2) existent n→∞

pour tout A élément de T (et même uniformément par rapport à A) et sont égales.

On peut donner alors la définition suivante :

Définition. Une fonction fortement mesurable f, de Ω dans X, est dite intégrable au sens de Bochner (ou B-intégrable) s'il existe une suite (f _n)_n de fonctions simples qui converge vers f presque partout et telle que :

Par définition, on pose alors :

Théorème. Une fonction fortement mesurable f de Ω dans X est B-intégrable si et seulement si ∫Ω ∥f (ω)∥dμ < + ∞ ; dans ce cas, on a de plus l'inégalité :

De la même façon que pour les fonctions à valeurs réelles ou complexes, on définit l'espace L¹(Ω, T, μ, X) des classes de fonctions B-intégrables de Ω dans E (cf. intégration et mesure, chap. 4), ainsi que les espaces L^p (Ω, T, μ, X), où 1 ≤ p ≤ + ∞.

Mesures à valeurs vectorielles

Soit (Ω, T) un espace mesurable et X un espace de Banach. Une application F de T dans X est une mesure si elle τ-additive : pour toute suite (A_i)_i d'éléments deux à deux disjoints de T :

Notons |F| l'application de T dans R⁺ définie par :

On peut montrer que, pour que F soit μ-continue, il faut et il suffit que, pour tout élément A de T tel que μ(A) = 0, on ait aussi F(A) = 0.

La propriété de Radon-Nikodym

Théorème. Soit f un élément[...]