NORMÉS ESPACES VECTORIELS

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Les théorèmes généraux de base

Entre 1920 et 1930, S. Banach, H. Hahn, H. Steinhaus élaborent les théorèmes généraux de base de la théorie.

Théorème de Hahn-Banach

Il existe diverses versions de ce théorème ; nous donnons ici une version analytique valide dans les deux cas : K = R ou K = C. Nous renvoyons à l'article convexité pour une forme géométrique de ce résultat.

Soit E un espace vectoriel sur K, p une semi-norme sur E (cf. chap. 1) et f une forme linéaire sur un sous-espace F de E qui pour tout x de F vérifie |(x)| ≤ p(x). Il existe alors une forme linéaire g sur E qui prolonge f et qui vérifie |g(x)| ≤ p(x) pour tout x de E.

Les quatre théorèmes qui suivent reposent de manière essentielle sur la propriété de Baire des espaces métriques complets (cf. espaces métriques, chap. 4).

Théorème de l'application ouverte

Soit E et F deux espaces de Banach et u une application linéaire continue surjective de E sur F. L'image par u de tout ouvert de E (cf. topologie-Topologie générale) est alors un ouvert de F.

On déduit immédiatement de ce théorème que si de plus u est injective alors u est un isomorphisme de l'espace de Banach E sur l'espace de Banach F. En particulier, lorsqu'un espace vectoriel E est muni de deux normes qui en font toutes deux un espace de Banach, il suffit de montrer que ces normes se comparent pour en conclure qu'elles sont équivalentes.

Théorème du graphe fermé

Soit E et F deux espaces de Banach. Pour qu'une application linéaire u de E dans F soit continue, il faut et il suffit que son graphe soit fermé dans l'espace produit E × F.

Théorème d'équicontinuité de Banach

Soit (Ti)i∈I une famille d'applications linéaires continues d'un espace de Banach B dans un espace vectoriel normé F. On suppose que, pour tout élément x de B, sup i∈I∥Ti(x)∥ < + ∞ ; alors sup ∥Ti∥ < + ∞. i∈I

Théorème de Banach-Steinhaus

Soit E et F deux espaces de Banach et (Τn)nN une suite d'applications linéaires continues de E dans F. Alors lim Tn(x) n→∞ existe pour tout x élément de E si et seulement si lim Τn(x) existe pour tout x n→∞

d'u [...]


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  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy
  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Robert ROLLAND, Jean-Luc VERLEY, « NORMÉS ESPACES VECTORIELS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 16 février 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/