NORMÉS ESPACES VECTORIELS

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

La décomposition des espaces de Banach

Produits d'espaces de Banach

E et F étant deux espaces de Banach, la somme directe E ⊕ F (cf. algèbre linéaire et multilinéaire, chap. 2) peut être munie d'une structure d'espace de Banach dont la topologie associée soit la topologie produit de celle de E par celle de F (cf. topologie-Topologie générale). Il y a en fait plusieurs normes qui réalisent cette condition, les plus utilisées étant ∥(xy)∥p = (∥xEp + ∥yFp)1/p, où 1 ≤ p < + ∞ et ∥(xy)∥ = max (∥xE, ∥yE). Évidemment, ces normes sont équivalentes et les espaces de Banach obtenus sont isomorphes.

La complémentation

Soit E ⊕ F une décomposition en somme directe algébrique de l'espace de Banach X. E et F étant munis des topologies induites par celle de X, et E ⊕ F de la topologie produit, nous dirons que E ⊕ F est une décomposition en somme directe topologique si l'application

est un homéomorphisme.

En utilisant le théorème de l'application ouverte, on montre que pour qu'une décomposition en somme directe E ⊕ F de l'espace de Banach X soit topologique il faut et il suffit que E et F soient des sous-espaces fermés de X.

Le problème de la complémentation qui se pose alors est de savoir si, étant donné un sous-espace vectoriel fermé E d'un espace de Banach X, il existe un supplémentaire topologique de E dans X, c'est-à-dire un sous-espace F de X tel que E ⊕ F soit une décomposition en somme directe topologique de X ; on dira dans ce cas que E est complémenté dans X. On montre que pour qu'un sous-espace fermé E de X soit complémenté dans X il faut et il suffit qu'il existe une projection continue P de X sur E ; alors E ⊕ (I − P)(X), où I est l'application identique, est une décomposition en somme directe topologique de X. Il n'est pas vrai en général que tous les sous-espaces fermés d'un espace de Banach soient complémentés : par exemple, c0 n'est pas complémenté dans l. Toutefois, la propriété indiquée est réalisée dans les espaces de dimension finie et dans les espaces de Hilbert (cf. espace de hilbert, chap. 3) et elle caractérise ces espaces ; plus précisément :

a) Soit E [...]

1 2 3 4 5

pour nos abonnés,
l’article se compose de 10 pages




Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
  • : maître assistant à la faculté des sciences de Marseille-Luminy

Classification


Autres références

«  NORMÉS ESPACES VECTORIELS  » est également traité dans :

ALGÈBRE

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 7 218 mots

Dans le chapitre « Espaces vectoriels normés et espaces vectoriels topologiques »  : […] Un espace vectoriel normé sur le corps K des nombres réels ou des nombres complexes est un espace vectoriel E sur lequel est définie une fonction x  → ∥ x ∥, à valeurs réelles positives, possédant les propriétés suivantes, qui généralisent celle de la longueur d'un vecteur dans les espaces de dimension finie : a ) ∥ […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/algebre/#i_29967

BANACH STEFAN (1892-1945)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 609 mots

Dans le chapitre « La dualité topologique »  : […] Le nom de Banach restera lié aux espaces vectoriels normés complets, appelés par lui espaces du type (B) et universellement dénommés de nos jours «  espaces de Banach » (terminologie introduite par M. Fréchet en 1928). La notion d'espace normé général apparaît pour la première fois dans les travaux de Hahn et de Banach vers 1920 et s'épanouit sous l'influence de Banach et de ses élèves ; le livre […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/stefan-banach/#i_29967

CONVEXITÉ - Ensembles convexes

  • Écrit par 
  • Victor KLEE
  •  • 4 793 mots
  •  • 7 médias

Dans le chapitre « Aspects qualitatifs »  : […] Contrairement à ce qui précède, les espaces considérés ici sont quelconques, et non nécessairement de dimension finie. La convexité intervient de manière essentielle dans les espaces vectoriels de l'analyse : espaces vectoriels normés, ou plus généralement espaces vectoriels topologiques localement convexes, c'est-à-dire où tout point a un système fondamental de voisinages convexes ; on se limite […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/convexite-ensembles-convexes/#i_29967

HILBERT ESPACE DE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 3 425 mots

Dans le chapitre « Théorie élémentaire »  : […] L'étude des espaces hermitiens de dimension finie repose sur le théorème qui suit. Théorème 3. Tout espace hermitien de dimension finie admet au moins une base orthonormale. La démonstration s'effectue par récurrence sur la dimension de l'espace hermitien E. Soit donc E un espace hermitien de dimension strictement positive  n . Choisissons un vecteur uni […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espace-de-hilbert/#i_29967

MÉTRIQUES ESPACES

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 6 425 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Exemples »  : […] On verra dans ce qui suit que la notion d'espace métrique recouvre un matériau mathématique très varié. Comme exemple extrême, remarquons que tout ensemble peut être muni de la distance, dite triviale , définie par d ( x x ) = 0, d ( x y )  […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-metriques/#i_29967

SPECTRALE THÉORIE

  • Écrit par 
  • Lucien CHAMBADAL, 
  • Jean-Louis OVAERT
  •  • 4 872 mots

Dans le chapitre « Applications linéaires compactes »  : […] Historiquement, la notion d' application linéaire compacte s'est introduite sous le nom d'application complètement continue : étant donné deux espaces vectoriels normés E et F, une application linéaire u de E dans F est dite complètement continue si de toute suite bornée ( x n ) d'éléments de E on peut extrai […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-spectrale/#i_29967

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, Robert ROLLAND, « NORMÉS ESPACES VECTORIELS », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 septembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/espaces-vectoriels-normes/