ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Équations de degré 3 et 4
Les équations cubiques
Quelques exemples d'équations cubiques apparaissent chez les Babyloniens, mais sans rien de systématique. Archimède discute (De la sphère et du cylindre, livre second) les problèmes qui, pour nous, conduisent à l'équation cubique générale. Mais sa démarche est purement géométrique et ne peut pas se traduire en algèbre. Le xve siècle connaît quelques tentatives malheureuses de résolution algébrique. Il était réservé à l'école italienne du xvie siècle d'apporter la solution définitive. Les trois pionniers sont successivement Scipione del Ferro, Tartaglia et Cardan.
L'équation générale se ramène à des formes telles que x3 + px + q = 0. (Les algébristes n'écrivant que des coefficients numériques et positifs, trois cas sont à distinguer : x3 = x + 1, x3 + x = 1 et x3 + 1 = x.)
La solution trouvée se résume pour nous dans la formule :
Elle est obtenue en posant x = u + v, puis u3 + v3 = − q, uv = p/3, d'où u3 + v3 = − q, u3v3 = − p3/27 ; u3 et v3 sont donc racines d'une équation quadratique.
Cardan comprend aussitôt les difficultés soulevées par cette solution. Lorsque q2/4 + p3/27 est négatif, les nombres u et v ne peuvent pas être calculés dans R, donc n'existent pas. Or, Archimède a montré que, dans ce cas, l'équation cubique proposée a des racines, et Cardan, en acceptant les racines négatives, sait en outre qu'elle en a trois. Pour lever la difficulté, il introduit timidement, et Bombelli le fera plus nettement en 1572, de nouveaux nombres dits « impossibles » ou « imaginaires ». Ainsi apparaît, pour la première fois, le corps C des nombres complexes (cf. nombres complexes).
Le quatrième degré
Un disciple de Cardan, Ferrari, résout l'équation du quatrième degré. Soit par exemple à résoudre x4 + 6 x2 + 36 = 60 x. Ajoutons 6 x2 aux deux membres pour que le premier soit un carré parfait. Il vient (x2 + 6)2 = 6 x2 + 60 x. Formons :
L'équation s'écrit :
Si le trinôme en x du second membre est un carré parfait (ax + b)2, l'équation se ramènera au second degré : x2 + 6 + y = ax + b. Pour cela, il faut que :
Le paramètre y est donc obtenu par la résolution d'une équation cubique. C'est Bombelli qui, en 1572, étend le procédé de Luigi Ferrari à l'équation la plus générale de degré 4.
L'obligation de n'avoir dans les équations que des coefficients positifs rend la démarche de ces auteurs fort pénible.
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Écrit par
- Jean ITARD : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences
Classification
Pour citer cet article
Jean ITARD. ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
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À une époque où la Norvège était d'une extrême pauvreté par suite des guerres qui l'avaient ruinée, Niels Henrik Abel, second fils d'une famille de sept enfants, naquit le 5 août 1802 dans l'île de Finnøy, près de Stavanger. Dès sa quinzième année, il lut et assimila les travaux les plus difficiles d'Euler...
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AL-KHWARIZMI
- Écrit par Bernard PIRE
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Résident de la maison de la Sagesse à Bagdad, le mathématicien Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a participé à la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs. Son traité intitulé Hisab al-jabr w'al-muqabala est considéré comme le premier manuel d'algèbre...
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
- Écrit par Bernard PIRE
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Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques...
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BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)
- Écrit par Jacques MEYER
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Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre...
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Voir aussi
