ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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Le second degré

L'histoire des équations quadratiques :

remonte, comme celles des équations affines, à des époques très reculées. La mathématique égyptienne n'a pratiquement rien découvert en ce domaine. Au contraire, l'on doit beaucoup, l'essentiel même, aux Babyloniens.

Premier exemple

Sur une tablette de l'ancien âge babylonien (YBC 4663), on demande de trouver un rectangle, connaissant son demi-périmètre, 60 30′, et son aire, 70 30′.

Il s'agit donc de résoudre le système :

Voici la méthode proposée par le scribe (numération à base 60) : prendre la moitié de la longueur et de la largeur :

élever au carré :
en retrancher l'aire :
prendre la racine carrée : 10 45′ ; ajouter la demi-somme :
retrancher :

Second exemple

Problème 7 de la tablette BM 13901, remontant à l'ancien âge babylonien, 1800 environ avant notre ère : « J'ai additionné sept fois le côté de mon carré et onze fois la surface : 60 15′. » Soit 11 x2 + 7 = 60 15′.

Solution : « Tu inscriras 7 et 11. Tu porteras 11 à 60 15′ : 1̀ 8045′. Tu fractionneras en deux 7 : 30 30′. Tu croiseras 30 30′ et 30 30′ : 12015′. À 1̀ 8045′ tu ajouteras 1̀ 210, qui est le carré de 9. Tu soustrairas 30 30′, que tu as croisé, de 9 : tu inscriras 50 30′. L'inverse de 11 ne peut être dénoué. Que dois-je poser à 11 qui me donne 50 30′ : 30′, son quotient. Le côté du carré est 30′. »

À savoir : l'équation à résoudre est ax2 + bx = c. On calcule b2/4, puis b2/4 + ac, dont la racine est (b2/4 + ac). On forme (b2/4 + ac) − b/2. Le coefficient  a  n'ayant  pas  d'inverse  dans l'anneau des nombres exprimables en base 60, on divise par a, par tâtonnements, (b2/4 + ac) − b/2. Le quotient est le côté cherché. La numération est sexagésimale : 1̀ + 600, et 1′ = (1/60). 10.

D'autres exemples, fort nombreux, montrent que le calculateur babylonien sait résoudre toutes les équations quadratiques. Il y a pourtant un obstacle : ce calculateur ne s'exprime pas dans R, corps des réels, mais dans un sous-anneau, celui des nombres exprimables d'une façon finie, en base 60. Pour que ax2 + bx + c = 0 ait des racines, il [...]


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Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

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Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/