ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

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La théorie « générale » des équations

Grâce à l'école italienne, la théorie générale des équations algébriques se précise et ses problèmes principaux se dégagent. Sans suivre chronologiquement son développement historique, on peut s'efforcer d'en mettre en évidence les points importants. L'équation étant mise sous la forme P(x) = 0, l'importance du degré du polynôme P, ou degré de l'équation, apparaît d'abord ; en effet, l'équation n'a pas en général une seule racine, comme le voulaient les anciens algébristes, mais peut en avoir jusqu'à n, si n est son degré.

Si a est une racine, alors P(x) est divisible par x − a et l'on peut écrire :

Q étant un polynôme de degré n − 1.

Si l'équation admet exactement n racines, il est possible d'exprimer les coefficients du polynôme P(x) par des fonctions symétriques rationnelles entières des racines.

Exemple du second degré :

de racines a et b ; alors :

Exemple du troisième degré :

de racines a, b, c ;

Exemple du cinquième degré :

de racines a, b, c, d, e ;

Ces relations apparaissent déjà chez Viète, dans le seul cas où toutes les racines sont positives, mais c'est Harriot, en 1630, dans ses œuvres posthumes, et surtout Albert Girard, en 1629, qui leur donnent toute leur extension. Girard, d'autre part – et il sera suivi par Newton – exprime les sommes des puissances des racines en fonction des coefficients :

L'étude des fonctions symétriques des racines se développe considérablement au xviiie siècle avec Waring, au xixe avec Cauchy, etc.

Ces belles relations ne sont évidemment établies, chez Viète, que lorsque toutes les racines sont positives, et, pour tout algébriste, que si elles existent. Tout dépend du sens donné au mot « existence ». Pour Jean de Beaugrand par exemple, vers 1638, exister est synonyme d'« appartenir à l'ensemble R des réels ». Pour Girard, on peut admettre des « solutions impossibles » pour la « certitude de la règle générale et pour son utilité ». Pour Descartes, en 1637, « les racines ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j' [...]


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  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

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Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/