ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

La résolution algébrique des équations

Par cette expression, on entend traditionnellement la résolution des équations au moyen de radicaux carrés, cubiques, etc.

On a vu que sont résolubles par ce procédé les équations de degrés 2, 3 et 4. Après les succès de l'école italienne au xvie siècle, les mathématiciens se sont attachés à trouver des formules de résolution analogues pour les degrés suivants, singulièrement pour le cinquième. Parmi les recherches les plus remarquables en ce domaine, on peut citer celles de Tschirnhaus (1651-1708). Il s'efforce, en 1689, par un changement de variable, de ramener toute équation algébrique à une équation binôme. Plus précisément, soit P(x) = 0 une équation de degré n. Posons = Q(x), Q étant un polynôme de degré − 1 à coefficients indéterminés. On élimine x entre les deux équations P(x) = 0 et Q(x) − = 0, et l'on détermine les coefficients du second polynôme de façon à faire disparaître, dans l'équation résultante en y, certains ou tous les termes intermédiaires. Si la méthode de Tschirnhaus réussissait toujours, toute équation serait algébriquement résoluble. Au xviiie siècle, Euler et Bezout ont étudié le même problème par des procédés analogues.

Un mémoire de Vandermonde, lu en novembre 1770, devait inaugurer une ère nouvelle. Kronecker n'a pas craint d'affirmer que l'essor moderne de l'algèbre commençait avec ce mémoire. Vandermonde y apparaît comme le précurseur et le premier ouvrier de la théorie des substitutions, distinguant, avant Gauss et Abel, les fonctions cycliques invariantes par une permutation circulaire déterminée et décomposant les fonctions symétriques en fonctions cycliques. Naturellement, il n'aboutit pas pour les degrés 5 et 6, mais il montre combien il serait prématuré de conclure à l'impossibilité de la résolution des équations générales de degré supérieur à 4. Puis il note que, si sa méthode échoue pour ces équations générales, elle réussit pour des équations particulières dont les racines sont liées par certaines relations et il prend pour exemple x11 − 1 = 0, dont il exprime les solutions au moyen [...]


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 9 pages





Écrit par :

  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences

Classification


Autres références

«  ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES  » est également traité dans :

ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 309 mots

À l'aube du xix e  siècle, le mathématicien norvégien N. H. Abel allait révolutionner sa science, et Hermite a pu déclarer : « Il a laissé aux mathématiciens de quoi s'occuper pendant cinq cents ans. » D'abord algébriste, il établit l'impossibilité de résolution par radicaux des équations algébriques de degré ≥ 5 et sa méthode ouvrait la voie aux travaux de Galois sur les groupes de substitution d […] Lire la suite

AL-KHWARIZMI

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 183 mots

Résident de la maison de la Sagesse à Bagdad, le mathématicien Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a participé à la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs. Son traité intitulé Hisab al-jabr w'al-muqabala est considéré comme le premier manuel d'algèbre. Le terme « algèbre » vient ainsi du titre de cet ouvrage, tandis que le terme « algorithme » provient d'une traduction latine […] Lire la suite

ARITHMÉTIQUES (Diophante)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 192 mots

Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques , qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 équations. La méthode de résolution des équations indéterminées c […] Lire la suite

BÉZOUT ÉTIENNE (1739-1783)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 175 mots

Le nom d'Étienne Bézout doit être associé à l'utilisation des déterminants dans la théorie des équations algébriques. Dans son mémoire à l'Académie (1764) et surtout dans son ouvrage Théorie générale des équations algébriques (1779), Bézout donne des règles pour résoudre n équations à n inconnues par élimination, en utilisant des déterminants, sans cependant entrer dans la théorie. Il étudie au […] Lire la suite

BOMBELLI RAFFAELE (1526-1573)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 222 mots

On ne sait pratiquement rien de la vie de Bombelli, sinon qu'il est né à Bologne en 1526. Il fut le premier des grands mathématiciens italiens du xvi e siècle à apporter une importante contribution à l'étude des équations algébriques du 3 e et du 4 e degré. Peu de temps avant sa mort, il publie un ouvrage, Algebra, parte maggiore dell'aritmetica, divisa in tre libri (Bologne, 1572), qui contie […] Lire la suite

CARDAN JÉRÔME (1501-1576)

  • Écrit par 
  • Jean-Claude MARGOLIN
  •  • 1 962 mots

Dans le chapitre « De l'algèbre à l'astrologie »  : […] « Médecin milanais », comme il aime à se désigner lui-même sur la page de titre de ses œuvres imprimées, Cardan s'est pourtant assuré la réputation la plus durable dans le domaine des mathématiques, et notamment de l'algèbre. En 1539, il publie à Milan un ouvrage d'arithmétique, la Practica arithmeticè et mensurandi singularis (réimprimé à Nuremberg). Mais c'est surtout en 1545, avec son Ars mag […] Lire la suite

CHINOISE (CIVILISATION) - Sciences et techniques

  • Écrit par 
  • Jean-Claude MARTZLOFF
  •  • 6 597 mots

Dans le chapitre « Mathématiques »  : […] Les inscriptions sur os et écailles ( jiaguwen ) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du xix e  siècle, nous apprennent que, dès les xiv e - xi e  siècles avant notre ère, les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizain […] Lire la suite

CORPS, mathématiques

  • Écrit par 
  • Robert GERGONDEY
  • , Universalis
  •  • 6 417 mots

Dans le chapitre « Théorie de Galois »  : […] Jusqu'à Abel et Galois, le problème central posé par les équations algébriques était celui de leur solution par radicaux, c'est-à-dire l'expression des racines au moyen d'opérations rationnelles et d'extractions de racines. Les Grecs connaissaient déjà des cas particuliers de la formule x  = (−  b  ±  b 2  − 4 ac )/(2 a ) pour la solution de l'équation du second degré ax 2  +  bx  +  c  = 0, et de […] Lire la suite

DEL FERRO SCIPIONE (1465-1526)

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 614 mots

Le mathématicien italien Scipione Del Ferro (orthographié parfois Ferreo) est né à Bologne le 6 février 1465. On sait que son père travaillait dans un atelier de fabrication du papier. Del Ferro étudia probablement à l’université de Bologne, fameuse institution fondée en 1088 et protégée par une charte signée de l’empereur Frédéric Barberousse en 1158. Del Ferro y devient professeur d’arithmétiq […] Lire la suite

ÉQUATION, mathématique

  • Écrit par 
  • Gilles LACHAUD
  •  • 1 488 mots

Dans le chapitre « Équations algébriques »  : […] Ce sont les équations dont chaque terme est un polynôme , c'est-à-dire une expression obtenue en additionnant et en multipliant entre eux des nombres et des variables (en revanche, si les termes comportent des fonctions transcendantes, on dit que l'équation est transcendante ). La nature du problème de la résolution d'une équation algébrique dépend de l'ensemble où l'on cherche les solutions : nom […] Lire la suite

FALTINGS GERD (1954- )

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 215 mots

Mathématicien allemand, lauréat de la médaille Fields en 1986. Né le 28 juillet 1954 à Gelsenkirchen (Allemagne), Gerd Faltings fait ses études à l'université de Münster, où il soutient sa thèse de doctorat en 1978. Boursier à l'université Harvard l'année suivante, il enseigne à l'université de Münster, puis à celle de Wuppertal, avant d'être nommé en 1985 professeur à l'université de Princeton (N […] Lire la suite

FERRARI LUDOVICO (1522-1565)

  • Écrit par 
  • Jacques MEYER
  •  • 124 mots

Algébriste italien, né et mort à Bologne. Entré au service de Jérôme Cardan dès l'âge de quinze ans comme garçon de courses, avant de devenir son assistant, Ludovico Ferrari commença ainsi une carrière de mathématicien qui devait faire de lui le plus célèbre des disciples de Cardan. Il ne publia aucun ouvrage, mais Cardan incorpora toutes les recherches qu'il fit dans son Ars magna (1545). En tra […] Lire la suite

GALOIS ÉVARISTE (1811-1832)

  • Écrit par 
  • Jean-Pierre AZRA, 
  • Robert BOURGNE
  •  • 2 069 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »  : […] En sa croissance ainsi aventureuse, la pensée de Galois s'est librement nourrie des travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel et Jacobi. Dans un mémoire célèbre paru en 1770, Lagrange fait le point des recherches dans le domaine des équations algébriques. Il esquisse une théorie de la transformation des équations et met en évidence l'importance de la notion de permutation. Il retrouve par là les f […] Lire la suite

GORDAN PAUL ALBERT (1837-1912)

  • Écrit par 
  • Jeanne PEIFFER
  •  • 334 mots

Algébriste allemand, né et mort à Erlangeus, Paul Gordan fut pendant plusieurs années employé de banque avant d'entreprendre des études universitaires à Breslau, Königsberg et Berlin, où il suivit des cours de Ernst Kummer sur la théorie des nombres. Après avoir soutenu une thèse de doctorat (1862) sur la géodésie sur les sphéroïdes, il fit un séjour à Göttingen, où travaillait alors Riemann, puis […] Lire la suite

GROUPES DE GALOIS

  • Écrit par 
  • Bernard PIRE
  •  • 178 mots

L'unique mémoire d'Évariste Galois (1811-1832), Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux , présenté à l'Académie des sciences en 1831, reçut un avis défavorable de son rapporteur Siméon-Denis Poisson ; pourtant, l'importance de ce travail dans le développement de la théorie des groupes est maintenant universellement reconnue. Galois montrait l'intérêt d'associer à chaque équat […] Lire la suite

INDE (Arts et culture) - Les sciences

  • Écrit par 
  • Francis ZIMMERMANN
  •  • 14 263 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Les mathématiques »  : […] Après avoir fait l'objet de controverses passionnées, l'originalité des mathématiques indiennes et la dette de l'Occident à l'égard de l'Inde ont été reconnues, assez tardivement et seulement depuis les années 1910. Certes, comme on l'a signalé, l'Inde a emprunté à la Grèce presque tout de l'astronomie. Mais nous devons reconnaître que les idées scientifiques ont cheminé en sens inverse dans le do […] Lire la suite

INDE (Arts et culture) - Les mathématiques

  • Écrit par 
  • Agathe KELLER
  •  • 5 558 mots
  •  • 4 médias

Dans le chapitre « Deux types de textes mathématiques en sanskrit »  : […] Si les jalons d’une discipline mathématique sont ainsi posés dans les textes sanskrits du v e au vii e  siècle de notre ère, on voit se développer jusqu’au xii e  siècle deux types de textes mathématiques : d’un côté, des mathématiques associées aux sciences astrales, qui nous parviennent dans des textes canoniques continûment copiés jusqu’à la fin du xix e  siècle ; de l’autre, des mathématiques […] Lire la suite

ISLAM (La civilisation islamique) - Les mathématiques et les autres sciences

  • Écrit par 
  • Georges C. ANAWATI, 
  • Roshdi RASHED
  • , Universalis
  •  • 22 470 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « L'algèbre »  : […] Paru à Bagdad entre 813 et 830, Kitāb al-jabr wa al-muqābala , d'al-Khwārizmī, est le premier livre où le terme d'algèbre apparaît dans un titre –  al-jabr et al-muqābala y désignent à la fois une discipline et deux opérations ; soit, par exemple, x 2  +  c  −  bx  =  d , avec c   >   d  ; l'algèbre consiste à transposer les expressions soustractives ( x 2  +  c =  bx  +  d ), et al-muqābala à […] Lire la suite

LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

  • Écrit par 
  • Jean ITARD
  • , Universalis
  •  • 1 608 mots

Dans le chapitre « La résolution algébrique des équations »  : […] L'année 1771 voit paraître deux mémoires fondamentaux dans l'histoire de l'algèbre, le Mémoire sur la résolution des équations d'Alexandre Vandermonde et le mémoire de Lagrange déjà cité ci-dessus. Si le travail de Vandermonde va parfois plus loin que celui de son contemporain, il est souvent obscur, alors que la clarté de formulation et d'analyse du mémoire de Lagrange en fait un texte capital q […] Lire la suite

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean ITARD, « ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 24 mars 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/