ÉLASTICITÉ

La théorie de l'élasticité est la théorie des petites déformations continues et réversibles des milieux isotropes élastiques. Elle donne, en principe et moyennant certaines hypothèses, la solution théorique complète des problèmes posés en résistance des matériaux, dont elle tend de plus en plus à se rapprocher après en être restée tout d'abord indépendante. Les calculs auxquels cette théorie conduit ne peuvent être explicités que dans des cas relativement simples ; dans les autres cas, on les simplifie en recherchant une première approximation de la solution mathématique rigoureuse (théorie des liaisons élastiques parfaites entre solides supposés indéformables, par exemple). Enfin, on fait appel à l'expérience soit pour vérifier les résultats des méthodes théoriques précédentes et les préciser lorsque leur approximation est insuffisante, soit pour les suppléer lorsqu'elles sont impuissantes, et, de toute façon, pour déterminer les caractéristiques élastiques intrinsèques des matériaux utilisés.

La théorie de l'élasticité suppose que les matériaux étudiés possèdent les trois propriétés suivantes :

– Tout d'abord, ils sont parfaitement élastiques (si les forces extérieures qui provoquent leur déformation ne dépassent pas une certaine limite, celle-là disparaît en même temps que la force qui lui a donné naissance). Les matériaux possèdent cette propriété à un degré variable en pratique.

– Ensuite, ils sont homogènes et distribués uniformément dans tout le volume qu'ils occupent, de telle sorte que le plus petit élément détaché d'un corps donné possède les mêmes propriétés physiques que le corps tout entier.

– Enfin, ils sont isotropes, c'est-à-dire que leurs propriétés élastiques sont les mêmes dans toutes leurs directions. Les matériaux utilisés dans les constructions ne satisfont pas en général, dans leur ensemble, à cette dernière hypothèse ; ils sont en effet constitués souvent de cristaux (acier par exemple) de formes diverses et différemment orientés. Cependant, les théories générales de l'élasticité, quoique fondées sur l'homogénéité et l'isotropie, donnent des résultats tout à fait valables. En effet, tant que les dimensions globales des corps envisagés sont considérables par rapport à celles des cristaux, l'hypothèse de l'homogénéité est parfaitement justifiée. De plus, l'hypothèse de l'isotropie se trouve justifiée, elle aussi, puisque les cristaux se trouvent naturellement distribués au hasard dans la matière. Cependant, lorsque, à la suite de certains traitements industriels, le laminage par exemple, les cristaux s'orientent dans une direction bien déterminée, ils ne sont plus distribués au hasard, et les corps doivent alors être considérés comme anisotropes.

Tenseur des contraintes

Dans tout ce qui suit, les corps étudiés seront repérés par rapport à un système d'axes cartésiens orthogonaux (Ox₁x₂x₃), mais toutes les équations écrites resteront valables dans les autres systèmes de coordonnées. Les correspondances d'un système donné dans un autre figurent dans les ouvrages spécialisés indiqués dans la bibliographie. Dans le système d'axes orthogonaux (Ox₁x₂x₃), on utilisera, pour alléger l'écriture, la convention de l'indice muet et celle de l'indice franc. Soit, par exemple, A₁, A₂, A₃ les projections sur les axes Ox₁, Ox₂, Ox₃ d'un vecteur A ; la convention de l'indice muet consiste, lorsqu'un indice littéral est répété deux fois dans un monôme, à remplacer ce dernier par la somme de tous les termes obtenus en donnant à cet indice les valeurs 1, 2, 3 dans ce monôme. Ainsi A_iB_i représente la somme

c'est-à-dire le produit scalaire des vecteurs A et B. Un indice non muet est dit franc ; il ne peut apparaître qu'une seule fois dans un même monôme. Ainsi, dans A_i = L_ijB_j, i est un indice franc et j est muet, et cette formule représente, en fait, les trois égalités classiques

Toujours par souci de concision, on notera par une virgule suivie d'un indice une dérivée partielle. Ainsi, A_2,3 désigne la dérivée partielle ∂A₂/∂x₃ de A₂ par rapport à x₃.

Définition des efforts intérieurs de cohésion

Considérons un corps (S) en équilibre sous l'action d'un système de forces extérieures F₁...F_n données qui sont soit des forces réparties sur tout ou partie de la surface extérieure de (S), soit des forces de volume (pesanteur, champ électromagnétique, etc.). Dans ces conditions, des efforts intérieurs à (S) doivent être pris en considération, comme le mon [...]

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