ÉLASTICITÉ

Principe de superposition. État naturel

En restant dans le domaine linéaire élastique, on peut utiliser le principe de superposition : si, à deux états de contraintes, correspondent deux états de déformations, la superposition des contraintes correspondra à celle des déformations. Cela suppose naturellement qu'à une déformation nulle correspondent des efforts intérieurs nuls, c'est-à-dire que le solide soit dans l'état naturel. En réalité, cela n'est jamais réalisé exactement. La trempe des métaux laisse subsister des contraintes intérieures importantes en l'absence de toute force extérieure. C'est pour les diminuer qu'on procède au recuit. De même, en l'absence de force extérieure, le fait de porter un solide à une température non uniforme crée à l'intérieur de celui-ci des contraintes thermiques. Le principe de superposition ne s'applique qu'aux variations des contraintes, à partir de l'état initial qui n'est pas toujours un état naturel. La théorie de l'élasticité ne permet de calculer que les variations de ces contraintes.

Principe de linéarité externe

Appliquons à un corps un chargement (F) composé d'un certain nombre de forces F₁, F₂, ..., F_n et soit u, v, w les composantes du déplacement d'un point M du corps. Soit (λF) le chargement obtenu en multipliant toutes les forces par un nombre λ ; la direction des forces reste inchangée. On dit qu'il y a linéarité externe si u, v et w sont proportionnels à la grandeur λ du chargement. Ce principe doit être distingué du principe de linéarité interne qui suppose la proportionnalité des six paramètres de déformation locaux ε_ij aux chargements et aux contraintes σ_ij.

Puisque les déformations sont élastiques, u, v et w sont, par définition, des fonctions bien définies de λ. On montre que les petites déformations d'un solide élastique obéissent en général au principe de linéarité externe. Cependant, ce principe peut être mis en défaut même pour des corps très rigides pour lesquels les déplacements u, v et w ont des valeurs notables ; c'est le cas d'une poutre en acier très élancée pour laquelle les déplacements u, v et w peuvent être grands, même si, localement, le principe de linéarité interne est respecté.

Théorème de Clapeyron et théorème de réciprocité

Le théorème de Clapeyron, valable sous réserve qu'il y ait linéarité externe, s'énonce de la façon suivante : Le travail (ou énergie de déformation) dépensé pour faire passer un système d'un état initial S₀ non sollicité à un nouvel état S d'équilibre sous l'action d'un chargement (F) est égal à la moitié du travail des forces extérieures produisant la déformation totale.

Le théorème de réciprocité, valable sous la même réserve, s'énonce : Si deux systèmes de forces (F₁) et (F₂), appliqués séparément à un ensemble de solides, lui impriment des systèmes de déplacement élastiques respectifs (Δ₁) et (Δ₂), le travail de (F₁) sur (Δ₂) est égal à celui de (F₂) sur (Δ₁).

Dans le cas général d'axes Ox₁, Ox₂, Ox₃ quelconques, cette énergie de déformation s'écrit :