ÉLASTICITÉ

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Relations entre les contraintes et les déformations

Forces internes et déformations

Les forces intérieures dans un solide sont des actions s'exerçant de proche en proche ; autrement dit, une molécule du corps n'exerce d'actions que sur les molécules immédiatement voisines. Il en résulte que les déformations en un point d'un corps dépendent de l'état de contrainte en ce point et en ce point seulement ; il existe donc a priori une relation entre le tenseur des contraintes en un point et le tenseur des déformations en ce même point ; et cela en chaque point du solide.

Or, la translation et la rotation pure n'introduisent pas de contraintes dans le solide ; il s'ensuit que le tenseur {R} ne doit pas intervenir dans cette relation qui doit donc lier le tenseur des contraintes {C} au tenseur de déformation pure {F} seul.

Pour un corps élastique, il y a donc en un point une relation entre les σij et les εij, c'est-à-dire que la connaissance des six premières entraîne celle des six autres, et réciproquement ; il existe donc six relations de la forme σij = fij (εkl) où fij est la fonction particulière reliant εkl à σij. Les déformations étant par hypothèse infiniment petites, chacune de ces fonctions fij peut être remplacée par son développement limité au premier ordre ; on a ainsi un système de six relations de la forme :

où les σij0 sont les contraintes à l'état initial, nulles si, dans cet état, le corps n'est pas sollicité et s'il est en régime de température uniforme. En résolvant ce système en εij, on montrerait de même que les déformations sont des fonctions linéaires des contraintes. Les trente-six coefficients λijk précédents qui relient les déformations aux contraintes sont les coefficients d'élasticité. Ils se réduisent en fait à vingt et un, car on démontre que λij = λji. La proportionnalité en un point entre la déformation intrinsèque et les contraintes constitue le principe de linéarité interne. Contrairement au principe de linéarité externe qui est fréquemment en défaut (voir ci-dessous), le principe de linéarité interne est toujours valable pour les matériaux de [...]


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Contraintes : équations

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « ÉLASTICITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 23 octobre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/elasticite/