ÉLASTICITÉ

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Le problème général de l'élasticité

Détermination des déplacements, des déformations et des contraintes

Un corps élastique résiste en se déformant aux actions de surface auxquelles il est soumis, et des contraintes apparaissent dans ce corps ; les actions de surface étant données, quelles sont, pour tous les points du corps, les déformations, les déplacements et les contraintes ?

Si le champ des déplacements ui(xk) a été déterminé, les déformations et les contraintes s'en déduisent immédiatement par les formules du tableau. Inversement, si les déformations ou les contraintes ont été déterminées, on pourra en déduire les déplacements par les formules (19) et (20) du tableau obtenues en intégrant les équations (9) et en passant par l'intermédiaire des relations (10) du tableau. Dans ces relations, les indices zéro sont relatifs à un point origine O quelconque, et les intégrales sont étendues à une ligne quelconque joignant O à M. Ces déplacements ne sont définis qu'à une rotation et une translation près.

Équations

Diaporama : Équations

Diaporama

tabl. 4 – Quelques équations de l'élasticité 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Équations aux déplacements

Supposons les déplacements infiniment petits. En chaque point intérieur du corps, il est nécessaire que les fonctions u1, u2, u3 soient telles que les contraintes qui y apparaissent satisfassent aux trois équations d'équilibre (5), et cette condition est suffisante. On obtiendra donc les équations générales portants sur u1, u2, u3 en remplaçant, dans les équations d'équilibre, les valeurs σij en fonction des uk, c'est-à-dire les valeurs (15) et (16), compte tenu des relations (9). On est conduit alors aux trois équations (21) où

est le laplacien, et où les X1m sont les composantes cartésiennes des forces de volume. L'intégration de ces équations introduit des fonctions arbitraires déterminées par les conditions à la surface qui s'écrivent facilement à partir des égalités (4) du tableau.

Équations aux déformations et équations aux contraintes

Les équations devant être satisfaites en tous les points du corps seront au nombre de neuf : les six équations de compatibilité (12) et les trois équations obtenues en remplaçant les σij par leurs valeurs en f [...]


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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Michel KOTCHARIAN, « ÉLASTICITÉ », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/elasticite/