DYNAMIQUE

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Équilibres absolus et relatifs

On dit qu'un ensemble matériel Σ est en équilibre par rapport à un repère (λ) lorsque tous les paramètres qi repérant la position de Σ par rapport à (λ) restent constants au cours du temps, qi = qi,e étant solution de toutes les équations de mouvement, avec les conditions initiales qi(t0) = qi,e et qi(t0) = 0.

Puisque les équations générales du mouvement sont :

les positions d'équilibre, si elles existent, sont déterminées par les valeurs qi,e des n paramètres constituant une solution des n équations :

Dans le cas où il n'y a pas de liaison dépendant du temps (T≡ 0) et où toutes les forces dérivent d'une fonction de forces U, les positions d'équilibre sont solutions des n équations :

Si certains seulement des qi restent constants au cours du temps, il existe un équilibre par rapport à ces paramètres (équilibre relatif), mais il n'y a pas de position d'équilibre pour le système.

Stabilité d'un équilibre

Par définition, on dit qu'une valeur qi,e d'équilibre pour un paramètre qi est stable si, et seulement si, quels que soient ε > 0 et ε′ > 0 suffisamment petits :

Une position d'équilibre d'un ensemble matériel Σ par rapport à un repère (λ) sera dite stable si, et seulement si, il y a stabilité par rapport à tous les paramètres.

Pratiquement, une position d'équilibre instable ne pourra jamais être mise en évidence, d'où l'importance de savoir reconnaître la stabilité d'une position d'équilibre.

Dans le cas où toutes les forces dérivent d'une fonction de forces indépendantes du temps, où il n'y a pas de liaison dépendant du temps et où la fonction de forces U dépend de tous les paramètres qi, on a vu que les valeurs des qi,e sont celles qui rendent U extremum. On est assuré de la stabilité de l'équilibre (théorème de Lejeune-Dirichlet) si cet extremum est un maximum (maximum relatif strict).

Dans le cas général, on linéarise les équations du mouvement au voisinage de la position d'équilibre considérée, puis on étudie la stabilité du système linéarisé, d'où l'on déduit la stabilité de la position d'équilibre.

Technique de linéarisation

Les équations de mouvement d'un système mécanique, à n degrés de liberté, sont de la forme :

i = 1, ..., n ; ce qu'on peut écrire :

La position d'équilibre peut toujours être obtenue pour q1 = q2 = ... = qn = 0 ou en faisant un changement de variables.

La position d'équilibre correspond à fi(0, 0) = 0.

Le système linéarisé au voisinage de la position d'équilibre q = 0 est, par définition, le système des n équations différentielles, linéaires, du second ordre, à coefficients constants :

i = 1, ..., n ; ce qui s'écrit sous forme condensée :
i = 1, ..., n et où les αijβijγij sont des constantes.

Équation caractéristique et stabilité

D'après la théorie des équations différentielles, le système linéarisé précédent possède des solutions particulières de la forme qj = Aj exp sts et les Aj sont inconnus. Si ces valeurs des qj sont reportées dans le système linéarisé, celui-ci se présente comme un système de n équations du premier degré par rapport aux n inconnues Aj. Ce système n'admet de solution autre que zéro, pour tous les Aj, que si le déterminant des coefficients est nul :

où α, β, γ représentent les matrices dont les éléments sont respectivement les αij, βij et γij. Cette équation de degré 2 n par rapport à s est l'équation caractéristique qui admet donc 2 n racines (réelles ou non). La solution générale du système linéarisé est une superposition de toutes les solutions particulières et elle s'écrit :

Une condition nécessaire de stabilité du système linéarisé est qu'aucune des racines Sk de l'équation caractéristique ne soit à partie réelle positive (qui donnerait un terme croissant exponentiellement avec le temps, d'où instabilité).

Considérons par exemple un système linéarisé de la forme :

avec aa> 0, ce qui est toujours possible.

L'équation caractéristique s'écrit :

équation bicarrée en s. Pour que cette équation n'ait aucune de ses racines à partie réelle positive, il faut et il suffit que l'équation du second degré :
ait ses deux racines réelles et négatives ; cette condition sera satisfaite si :

Ces conditions se réduisent à bb> 0 et

On voit immédiatement que, si b1 et b2 sont du signe contraire à celui de a1 et a2,

– dans le cas où c = 0 (c'est-à-dire si l'on supprime le terme de couplage gyroscopique), le système linéarisé considéré ici est instable ;

– dans le cas où c2 est suffisamment grand (couplage gyroscopiqu [...]

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/