DYNAMIQUE

Autres applications du principe fondamental

En donnant au principe fondamental une forme équivalente, mais légèrement différente, on peut montrer son application à un cas de la dynamique des systèmes « à masse variable » puis à la dynamique des chocs.

Auparavant, il faut définir la dérivée d'un torseur par rapport au temps t dans un repère (λ).

La dérivée du torseur {T} dépendant de t dans le repère (λ) est, par définition, le torseur noté :

ou plus simplement {T′}. Les éléments de réduction du torseur { T′ }, en un point P_λ dont la situation dans (λ) ne dépend pas de t, sont :

On vérifie immédiatement que le moment de { T′ }, en un point Q dont la situation dans (λ) dépend de t, est :

Nouvel énoncé du principe fondamental

Il existe au moins un repère dit galiléen (ou absolu) et une chronologie absolue tels que, pour tout ensemble matériel Σ, la dérivée par rapport au temps dans le repère galiléen du torseur des quantités de mouvement galiléen est égale au torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur cet ensemble :

Cet énoncé est équivalent au précédent ; car, compte tenu de la définition de la dérivée d'un torseur, le torseur :

admet, comme éléments de réduction en Q,

qui sont aussi les éléments de réduction en Q de {A^g_Σ}.

Mouvement de translation d'une fusée

La propulsion d'une fusée étant une propulsion par réaction, l'émission des gaz est trop importante pour que la masse de la fusée (constituée de l'enveloppe et des combustibles non consommés) puisse être considérée comme constante. Le principe fondamental s'applique à un ensemble matériel Σ bien déterminé et dont les constituants sont suivis dans leurs mouvements. La fusée étant par hypothèse en translation, on admet que tous ses points, et en particulier son centre d'inertie G, ont tous la même vitesse V^g(t ) à une date donnée t. On admet que chaque particule de gaz éjecté a, à la date t, la même vitesse w (t ) par rapport à l'enveloppe.

Considérons, à l'instant t, l'ensemble matériel Σ, formé par l'enveloppe et le combustible intérieur à l'enveloppe jusqu'à sa section droite arrière ; la quantité de mouvement de cet ensemble est, à la date t,

Pendant l'intervalle de temps (t, t + Δt ), une certaine masse de gaz (− Δ m) est brûlée, de telle sorte que la masse de la fusée jusqu'à la section droite arrière de l'enveloppe est, à l'instant t + Δt, m(t ) + Δm, alors que la vitesse de translation de la fusée a pour valeur V(t ) + Δ V. À l'instant t + Δt, la somme géométrique du torseur cinétique du même ensemble matériel Σ que celui considéré à la date t est devenue :

d'où l'accroissement de s {p^g_Σ} entre les instants t et t + Δt :

En divisant par Δt et en faisant tendre Δt vers zéro, il vient, au second ordre près :

Le théorème de la somme dynamique donne, pour le mouvement de translation d'une fusée propulsée par réaction,

L'éjection de gaz se traduit donc par la force :

dirigée vers l'avant de l'engin ; c'est la force de propulsion.

Dans la somme géométrique des forces extérieures, on néglige, à cause de la faible pression, l'action des gaz éjectés sur la fusée.

Dynamique des chocs

On dit qu'au cours du mouvement d'un système matériel Σ se produit un choc si, en un intervalle de temps infiniment court Δt = t₁ − t₀, les vitesses des différents points du système subissent une variation finie.

Dans la théorie approchée de la dynamique des chocs, on ne tient pas compte des effets thermiques et des déformations de solides qui accompagnent toujours ces phénomènes ; de plus, on néglige les termes de l'ordre de grandeur de Δt en ne conservant que les termes finis (de l'ordre de la variation des vitesses).[...]

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Écrit par

Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

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Classification

Pour citer cet article

Michel CAZIN et Jeanine MOREL. DYNAMIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

CAZIN, M. & MOREL, J.. DYNAMIQUE. Encyclopædia Universalis. (consulté le )

CAZIN, Michel et MOREL, Jeanine. « DYNAMIQUE ». Encyclopædia Universalis. Consulté le .

CAZIN, Michel, et MOREL, Jeanine. « DYNAMIQUE ». Encyclopædia Universalis [en ligne], (consulté le )

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Autres références

ALEMBERT JEAN LE ROND D' (1717-1783)
- Écrit par Michel PATY
- 2 874 mots
- 2 médias
Son Traité de dynamique de 1743 propose une réduction et une unification de la mécanique des corps solides, en énonçant et démontrant le théorème général de la dynamique, qui est connu depuis lors comme « principe de d'Alembert » et qui fournit la loi de mouvements quelconques de systèmes...
BALISTIQUE
- Écrit par Jean GARNIER
- 2 100 mots
- 2 médias
Pour écrire l'équation de la trajectoire d'un projectile tiré par un canon, il suffit d'appliquer le principe fondamental de la dynamique : la somme des forces extérieures appliquées au projectile est égale au produit de sa masse par la dérivée du vecteur vitesse V_g du centre...
CAUSALITÉ
- Écrit par Raymond BOUDON, Marie GAUTIER, Bertrand SAINT-SERNIN
- 12 987 mots
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Au xvii^e siècle, la statique se trouve absorbée dans une science nouvelle, la dynamique, qui s'intéresse à l'état de mouvement des corps et aux causes qui le produisent. En outre, physique céleste et physique terrestre s'unifient : le mouvement de la Lune autour de la Terre apparaissant identique à...
FLUIDES MÉCANIQUE DES
- Écrit par Jean-François DEVILLERS, Claude FRANÇOIS, Bernard LE FUR
- 8 791 mots
- 4 médias
Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :
τ est un vecteur,...
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