DYNAMIQUE
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Intégrales premières des équations de la mécanique
Les équations de la mécanique déduites du principe fondamental forment un système de n équations différentielles du second ordre (que l'on peut toujours ramener à un système de 2 n équations différentielles du premier ordre) dont l'intégration dépend de 2 n constantes qui, dans un problème de mécanique, sont les conditions initiales, c'est-à-dire la donnée des qi(t0) et des q′i(t0) à un instant t0 pris comme instant initial.
On appelle intégrale première toute fonction f (qi, q′i, t ) qui reste constante au cours du mouvement en vertu des équations déduites du principe fondamental exprimé sous l'une des formes suivantes : théorèmes généraux, théorème de l'énergie-puissance et équations de Lagrange. Donnons quelques exemples d'obtention d'intégrales premières. Théorème de la somme géométrique.
Si u désigne le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen et si Jg(G) ( u = 0, on a : Vg(G) ( u = constante (intégrale première).
Ce résultat n'est plus valable si u n'est pas fixe dans (g) (alors dgu/dt ≠ 0).
Si Jg(G) = 0, alors Vg(G) = C, vecteur constant, ce qui fournit trois intégrales premières scalaires.
Théorème du moment dynamique
Si u (
Si
Théorème de l'énergie-puissance et théorème de Painlevé-Morel
Plaçons-nous dans le cas général où les liaisons dépendent du temps :
Alors, l'énergie cinétique a pour expression :
On peut distinguer dans cette fonction, respectivement, les ensembles de termes homogènes et de degré deux, un et zéro par rapport aux q′k et écrire :
Le théorème de l'énergie s'écrit, pour un ensemble Σ de solides,
Prenons ici :
Les efforts extérieu [...]
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l’article se compose de 15 pages
Écrit par :
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique
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Pour citer l’article
Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 22 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/