DYNAMIQUE
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Intégrales premières des équations de la mécanique
Les équations de la mécanique déduites du principe fondamental forment un système de n équations différentielles du second ordre (que l'on peut toujours ramener à un système de 2 n équations différentielles du premier ordre) dont l'intégration dépend de 2 n constantes qui, dans un problème de mécanique, sont les conditions initiales, c'est-à-dire la donnée des qi(t0) et des q′i(t0) à un instant t0 pris comme instant initial.
On appelle intégrale première toute fonction f (qi, q′i, t ) qui reste constante au cours du mouvement en vertu des équations déduites du principe fondamental exprimé sous l'une des formes suivantes : théorèmes généraux, théorème de l'énergie-puissance et équations de Lagrange. Donnons quelques exemples d'obtention d'intégrales premières. Théorème de la somme géométrique.
Si u désigne le vecteur unitaire d'un axe fixe dans le galiléen et si Jg(G) ( u = 0, on a : Vg(G) ( u = constante (intégrale première).
Ce résultat n'est plus valable si u n'est pas fixe dans (g) (alors dgu/dt ≠ 0).
Si Jg(G) = 0, alors Vg(G) = C, vecteur constant, ce qui fournit trois intégrales premières scalaires.
Théorème du moment dynamique
Si u (
Si
Théorème de l'énergie-puissance et théorème de Painlevé-Morel
Plaçons-nous dans le cas général où les liaisons dépendent du temps :
Alors, l'énergie cinétique a pour expression :
On peut distinguer dans cette fonction, respectivement, les ensembles de termes homogènes et de degré deux, un et zéro par rapport aux q′k et écrire :
Le théorème de l'énergie s'écrit, pour un ensemble Σ de solides,
Prenons ici :
Les efforts extérieurs à Σ et les interefforts entre les Si peuvent se décomposer en :
– un torseur inconnu maintenant la liaison dépendant du temps ;
– un torseur d'actions de contact (de Σ, avec des ensembles matériels extérieurs à Σ, et des Si entre eux) ; ce torseur est en général inconnu ;
– un torseur d'efforts connus, soit efforts extérieurs (par exemple la pesanteur), soit interefforts entre les Sj (attraction newtonienne, interactions électriques, etc.).
Un calcul direct montre que la puissance développée par le torseur qui maintient la liaison dépendant du temps est :
En utilisant ce premier résultat important, on obtient la formule fondamentale :
Les conditions suffisantes (mais qui ne sont évidemment pas nécessaires) souvent rencontrées en pratique pour que le théorème de l'énergie donne une intégrale première sont les suivantes :
– si la puissance des efforts de contact (des Si entre eux et de Σ avec les ensembles matériels extérieurs à Σ) est nulle ;
– si les forces données dérivent d'une fonction de forces U ;
– si T + U ne dépend pas explicitement du temps, on a :
Lorsque les liaisons ne dépendent pas du temps, on obtient, comme cas particulier (compte tenu de T0g ≡ 0) des conditions suffisantes d'existence de l'intégrale première de l'énergie cinétique,
Équations de Lagrange
Si, pour un paramètre qk, on a
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l’article se compose de 15 pages
Écrit par :
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
- Jeanine MOREL : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique
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Pour citer l’article
Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 29 juin 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/