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DYNAMIQUE

Mouvement relatif

On appelle mouvement relatif tout mouvement d'un système matériel repéré par rapport à un repère quelconque (λ) non galiléen. Les théorèmes de la mécanique en mouvement relatif se déduisent du principe fondamental, compte tenu de la formule de composition des accélérations qui permet d'écrire :

{AΣ,e(λ,g)} est le torseur défini par le champ des accélérations d'entraînement (de λ dans g) et la mesure de masse, et {AΣ,C(λ,g)} est le torseur défini par le champ des accélérations de Coriolis (de λ dans g) et la mesure de masse.

Quand il n'y a pas de confusion possible, on note simplement ces torseurs {Ae} et {AC}.

Théorèmes généraux

Il vient immédiatement :

On donne en général le nom de torseurs des forces d'inertie d'entraînement {FΣ,e(λ,g)} et complémentaires {FΣ,C(λ,g)} aux opposés des torseurs {AΣ,e(λ,g)} et {AΣ,C(λ,g)}.

La loi fondamentale donne alors :

D'où les théorèmes généraux en mouvement relatif :

Pour tout ensemble matériel en mouvement par rapport à un repère quelconque, la quantité d'accélération de son centre d'inertie est égale à la somme du torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur Σ, augmentée des sommes du torseur des forces d'inertie d'entraînement et du torseur des forces d'inertie complémentaires dues au mouvement de λ par rapport au galiléen.

Pour tout ensemble matériel Σ en mouvement par rapport à un repère λ quelconque, le moment dynamique en un point I quelconque est égal au moment, au même point I, du torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur Σ augmenté des moments en I du torseur des forces d'inertie d'entraînement et du torseur des forces d'inertie complémentaires dues au mouvement de λ par rapport au galiléen.

Théorème de l'énergie-puissance

Dans le cas du solide unique, on prend comme torseur {W} le torseur {λS} ; on obtient donc :

or {FΣ,C(λ,g)} {λS} s'écrit aussi, si l'on tient compte de l'expression de l'accélération de Coriolis,
d'où :

Théorème. – Pour un solide unique S en mouvement par rapport à un repère λ quelconque, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique est égale à la puissance dans λ du torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur S augmentée de la puissance dans λ des forces d'inertie d'entraînement dues au mouvement de λ par rapport à g.

Pour un ensemble fini de solides, on a, comme précédemment, par sommation,

Théorème. – Pour un ensemble fini de solides ΣSj en mouvement par rapport à un repère quelconque λ, la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique est égale à la puissance dans λ des efforts extérieurs à ΣSj et des interefforts entre les Si augmentée de la puissance dans λ des forces d'inertie d'entraînement dues au mouvement de λ par rapport au galiléen.

Équations de Lagrange

Pour un solide unique, on choisit pour torseur {W} le torseur {λS,i} ; il vient, compte tenu des résultats précédents et en prenant :

Pour un ensemble fini de solides, on a donc :

Pour le théorème de l'énergie-puissance en mouvement relatif, on a vu que l'accélération de Coriolis n'intervenait pas. Au contraire, le coefficient énergétique relatif aux forces d'inertie de Coriolis n'est en général pas nul lorsque l'on forme les équations de Lagrange en mouvement relatif pour un ensemble de solides.

En résumé, on peut dire que le principe fondamental (et, par suite, toutes ses conséquences) est encore valable pour le mouvement d'un ensemble matériel par rapport à un repère quelconque, à condition d'ajouter au torseur des forces extérieures s'exerçant sur l'ensemble matériel considéré le torseur des forces d'inertie d'entraînement et le torseur des forces d'inertie complémentaire.

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Écrit par

  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
  • : professeur à l'École nationale supérieure de l'enseignement technique

Classification

Pour citer cet article

Michel CAZIN et Jeanine MOREL. DYNAMIQUE [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Médias

Solides en contact ponctuel - crédits : Encyclopædia Universalis France

Solides en contact ponctuel

Liaison rotoïde - crédits : Encyclopædia Universalis France

Liaison rotoïde

Liaison verrou - crédits : Encyclopædia Universalis France

Liaison verrou

Autres références

  • ALEMBERT JEAN LE ROND D' (1717-1783)

    • Écrit par Michel PATY
    • 2 874 mots
    • 2 médias
    Son Traité de dynamique de 1743 propose une réduction et une unification de la mécanique des corps solides, en énonçant et démontrant le théorème général de la dynamique, qui est connu depuis lors comme « principe de d'Alembert » et qui fournit la loi de mouvements quelconques de systèmes...
  • BALISTIQUE

    • Écrit par Jean GARNIER
    • 2 100 mots
    • 2 médias
    Pour écrire l'équation de la trajectoire d'un projectile tiré par un canon, il suffit d'appliquer le principe fondamental de la dynamique : la somme des forces extérieures appliquées au projectile est égale au produit de sa masse par la dérivée du vecteur vitesse Vg du centre...
  • CAUSALITÉ

    • Écrit par Raymond BOUDON, Marie GAUTIER, Bertrand SAINT-SERNIN
    • 12 987 mots
    • 3 médias
    Au xviie siècle, la statique se trouve absorbée dans une science nouvelle, la dynamique, qui s'intéresse à l'état de mouvement des corps et aux causes qui le produisent. En outre, physique céleste et physique terrestre s'unifient : le mouvement de la Lune autour de la Terre apparaissant identique à...
  • FLUIDES MÉCANIQUE DES

    • Écrit par Jean-François DEVILLERS, Claude FRANÇOIS, Bernard LE FUR
    • 8 791 mots
    • 4 médias
    Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :
    τ est un vecteur,...
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Voir aussi