DYNAMIQUE

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Dynamique analytique pour un ensemble de solides

Dans le cadre de la mécanique des systèmes formés d'un nombre fini de solides, les équations dites de la dynamique analytique se déduisent tout naturellement du principe fondamental de la dynamique. C'est ce formalisme que nous adopterons ici.

On remarque simplement que :

– quel que soit le torseur {W}, le principe fondamental de la dynamique entraîne pour tout ensemble matériel Σ :

– quel que soit le torseur {W}, dans le cas où un torseur {F} est défini sur un ensemble E par une densité vectorielle f (M) relative à une mesure μ, alors le produit scalaire des deux torseurs s'écrit :

Théorème de l'énergie-puissance

Cas du solide unique S

Appliquons à un solide unique S l'égalité (3), en prenant comme torseur {W} le torseur distributeur {gS} des vitesses de S par rapport au galiléen (g) :

Le scalaire {S̄ → S} {gS} est, par définition, la puissance galiléenne développée par les efforts extérieurs à S. Si on applique au scalaire {AgS} {gS} le résultat (4), il vient :

ce qui s'énonce : Pour un solide unique, la dérivée totale de l'énergie cinétique galiléenne est égale à la puissance galiléenne développée par les efforts extérieurs agissant sur S.

Dans le cas particulier (réalisé chaque fois que S n'est pas soumis à un champ électromagnétique) où le torseur des efforts extérieurs s'exerçant sur S est défini par des densités vectorielles fi (M) définies par rapport aux mesures μi, si l'on pose, pour simplifier l'écriture,

le second membre s'écrit :

Dans le cas général, le second membre prend la forme :

où d C(M) désigne la densité de couple :

Cas d'un ensemble fini de solides

Considérons un ensemble matériel Σ constitué par la réunion de p solides Sj (j = 1, 2, ..., p).

Pour chacun des solides Sj, le théorème précédent s'écrit :

ou, en sommant sur j,

Pour un ensemble fini de solides, la dérivée par rapport au temps (dérivée totale) de l'énergie cinétique galiléenne du système est égale à la puissance galiléenne développée par tous les efforts extérieurs à chacun des solides constituant le système.

Remarquons que les efforts extérieurs à un solide déterminé {S̄j → Sj} se décomposent en efforts extérieurs à l'ensemble Σ et en efforts s'exerçant entre les solides qui constituent Σ (interefforts) :

Il faut donc calculer la puissance développée par tous les efforts extérieurs à l'ensemble Σ et par tous les efforts s'exerçant entre les Sj formant le système.

Équations de Lagrange pour un solide unique S

Appliquons à un solide unique S l'égalité (3) en choisissant comme torseur {W} le torseur, qu'on notera {gS,i}, défini de la façon suivante : {gS,i} a pour éléments de réduction en tout point M de S où il est défini :

où les qi désignent les paramètres repérant, par rapport à (g), la position de S (n ≤ 6). La relation (1) s'écrit ici :

Calculons le premier membre en appliquant (4) :

Vg (M) est évidemment une fonction linéaire des qi ; posons :
les ai et b ne dépendant que des paramètres de position qi et du temps t. Il vient :
on voit immédiatement que, si :
le terme non intégré est nul et il reste alors :
ce que nous supposerons par la suite.

Étudions maintenant le second membre :

on donne à Qig le nom de coefficient énergétique (galiléen) relatif au paramètre qi. Dans le cas général, Qi s'écrit :

Remarquons que l'on peut exprimer Qig en fonction de Pg :

Les deux derniers termes non intégrés sont nuls lorsque le torseur des efforts extérieurs n'est pas exprimé explicitement en fonction des qi. Finalement, si :

l'équation de Lagrange pour un solide unique s'écrit :

Équations de Lagrange pour un ensemble fini de solides

Soit un ensemble matériel Σ, formé par la réunion de p solides Sj, dont la position par rapport au galiléen est repérée par n paramètres qi. On écrit d'abord l'équation de Lagrange pour chacun des Sj ; puis, par sommation, il vient :

Pour un ensemble de solides, le coefficient énergétique fait intervenir les efforts extérieurs à l'ensemble Σ et les interefforts entre les Sj.

Relation entre théorèmes généraux et équations de Lagrange

Pour un ensemble de solides, on a posé :

En désignant par OSj un point lié au solide Sj, on a, sur chaque Sj,

en particulier, pour un solide unique S :

L'équation de Lagrange d'indice i est donc une combinaison linéaire des conséquences scalaires des théorèmes généraux, obtenues par projection sur les tangentes aux lignes coordonnées.

Le théorème de l'énergie-puissance n'est pas indépendant des équations de mouvement obtenues par les méthodes équivalentes des théorèmes généraux ou des équations de Lagrange mais peut être obtenu à partir de ces équations. L'équation donnée par ce théorème pourra donc remplacer une des équations de mouvement mais ne donne pas une équation supplémentaire.

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  • : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
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Pour citer l’article

Michel CAZIN, Jeanine MOREL, « DYNAMIQUE », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 26 novembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/dynamique/