Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par

Lois et fonctions caractéristiques fondamentales

Variable certaine

La première loi que l'on rencontre est la loi d'un élément certain ou presque certain. Elle correspond au cas où ω ∈ Ω, la probabilité p étant telle que p({ω}) = 1. Il en résulte que la probabilité d'un événement quelconque ne contenant pas ω est égale à 0. Si Ω = Rn, la fonction caractéristique de cette variable aléatoire certaine est :

si ω = (m1, ..., mn). Des définitions du chapitre précédent il résulte qu'une variable aléatoire certaine est indépendante (au sens du calcul des probabilités) de toute autre variable aléatoire et, en particulier, de toute variable aléatoire certaine.

Variable et loi de Bernoulli

On appelle variable de Bernoulli une variable pour laquelle l'ensemble image Ω1 est égal à {0, 1}. C'est la variable utilisée dans le jeu de pile ou face (le nombre 1 étant attribué, par exemple, à face avec une probabilité p, et le nombre 0 étant attribué à pile avec la probabilité 1 − p = q). Sa fonction caractéristique est q + p eiu.

Loi binomiale

De la variable de Bernoulli on déduit la loi binomiale qui est la somme de n variables (indépendantes) de Bernoulli. La fonction caractéristique est :

la probabilité est répartie sur l'ensemble {0, 1, 2, ..., n}, la probabilité de r étant Crn prqn − r (probabilité de r succès sur n épreuves), le nombre Crn étant le coefficient du binôme.

Loi de Laplace-Gauss

La loi de Laplace-Gauss, connue aussi sous le nom de loi normale, est celle dans laquelle Ω1 = Rn, la loi de répartition de la variable n-dimensionnelle étant donnée par l'intégrale :

dans le cas où la variable est dite centrée, c'est-à-dire d'espérance mathématique nulle ; dans cette formule :
où X est la matrice colonne (vecteur) de composantes X1, ..., Xn, où tX désigne la matrice ligne transposée de la matrice colonne X et où Φ est une matrice définie positive, dite matrice de distribution. Si cette matrice n'est pas singulière, la fonction caractéristique est :
où U est la matrice colonne (vecteur) de composantes u1, ..., un. La matrice de covariance C = (cij), avec cij = E(XiXj), est égale à Φ−1 ; elle est naturellement elle aussi définie positive.

Si, au lieu d'être centrée, la variable était telle que E(X) = M, la loi de répartition serait :

et la fonction caractéristique deviendrait :

Dans le cas n = 1, on trouve, pour une variable unidimensionnelle de Laplace-Gauss non centrée, la loi de répartition :

et la fonction caractéristique est :
dans ces deux formules, σ2 est la variance de cette variable.

Loi de Poisson

La loi de Poisson, connue aussi sous le nom de loi des petites probabilités, est telle que Ω1 = N, la probabilité attachée à l'entier n étant égale à :

où λ est un paramètre positif. Bien entendu, on a :

La fonction caractéristique est :

On peut utiliser ici la notion de fonction génératrice, qui est égale à expλ(z − 1). L'espérance mathématique de la loi de Poisson de même que la variance sont égales à λ.

Loi de Cauchy

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

L'ensemble Ω1 étant ici égal à R, la loi de Cauchy est la loi de répartition :

la fonction caractéristique est exp −|u|. La figure compare les représentations de la loi de Laplace-Gauss et de la loi de Cauchy. On est dans le cas où il n'existe aucun moment, et la fonction caractéristique n'est pas dérivable à l'origine.

Loi uniforme

Dans le cas de la loi uniforme, Ω1 est le segment [0, 1] et la probabilité d'un sous-ensemble (mesurable au sens de Lebesgue) de ce segment est égale à la mesure de Lebesgue de cet ensemble. La fonction caractéristique est ici :

On trouvera dans les articles processus stochastiques et statistique d'autres lois usuelles dont des tables ont été dressées et qui sont d'usage courant.[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence - crédits : Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence

Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard - crédits : Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard

Encyclopædia Universalis France

Afficher les 6 médias de l'article PROBABILITÉS CALCUL DES

Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par , et
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Incendie de Londres, septembre 1666 - crédits : AKG-images
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
  • Afficher les 63 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter