PROBABILITÉS CALCUL DES

Quelques problèmes simples

Problème de l'aiguille de Buffon

Dans le volume VII du Supplément à son Histoire naturelle, Buffon aborde assez curieusement de nombreux problèmes de calcul des probabilités et de statistique (en particulier, il est parmi les premiers à avoir dressé des tables de mortalité). L'un des plus célèbres est celui de l'aiguille, dont l'énoncé est le suivant : Sur un plan sont tracées des droites parallèles distantes de h. On jette « au hasard » sur ce plan une aiguille de longueur l, avec l < h ; quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites ?

Il convient de préciser ce que l'on entend par « au hasard » dans un tel problème, comme d'ailleurs dans bien d'autres, ainsi que nous le verrons plus loin. « Au hasard » veut dire ici que la probabilité pour que le milieu de l'aiguille tombe dans une région donnée est proportionnelle à l'aire de cette région et que l'orientation de l'aiguille, qui est indépendante de la position du milieu, obéit aussi à une loi uniforme : la probabilité pour que l'intersection de l'aiguille orientée avec une circonférence de rayon 1 se trouve sur un certain arc est égale à la mesure de cet arc divisé par 2 π.

Une solution élégante de ce problème a été donnée par E. Barbier vers 1860. Appelons N la variable aléatoire égale au nombre de points de rencontre de l'aiguille et du réseau de droites parallèles ; N prend la valeur 0 avec la probabilité 1 − p et la valeur 1 avec la probabilité p que l'on cherche : E(N) = p. Considérons maintenant une ligne polygonale, fermée ou non, de n côtés, et appelons N_i la variable aléatoire définie comme précédemment relative à chaque côté. Les différentes variables N_i ne sont pas indépendantes, mais on sait que, même dans ce cas (cf. chap. 3), on a :

en passant à la limite, cela revient à dire que, quelle que soit la forme d'une courbe, l'espérance mathématique du nombre de points d'intersection de cette courbe avec le réseau de droites parallèles est proportionnelle à la longueur L de cette courbe, donc de la forme kL. Si on prend pour courbe un cercle de diamètre h, le nombre de points d'intersection avec le réseau est égal à 2 avec une probabilité égale à 1 ; l'espérance mathématique dans ce cas est donc 2 et, par suite, kπh = 2, donc k = 2/πh. Ainsi, la probabilité d'une intersection de l'aiguille et du réseau est égale, si l < h, à 2 l/πh. Si l = h/2, cette probabilité est donc égale à 1/π. D'après ce que l'on a vu dans le chapitre 8, la fréquence d'un tel résultat est une estimation de la probabilité. Sur ce cas très précis, des expériences sont continuellement faites au palais de la Découverte à Paris.

Probabilités en arithmétique

Deux nombres entiers positifs étant choisis « au hasard », quelle est la probabilité pour qu'ils soient premiers entre eux ? Ici encore, il faut préciser l'expression « au hasard » ; elle voudrait signifier « en donnant la même probabilité à chaque entier positif », mais il n'est pas possible de donner directement cette égalité de chances : si elle était nulle, la probabilité de l'ensemble des entiers serait nulle, et si elle était différente de 0, la probabilité de l'ensemble des entiers serait infinie. Il faut donc entendre « au hasard » de la façon suivante : on considère tous les entiers inférieurs à N ; en attribuant la même probabilité à chacun de ces entiers, on calculera la probabilité pour que deux entiers indépendants soient premiers entre eux et on calculera la limite de cette probabilité lorsque N augmente indéfiniment. Étant entendue de cette manière, la probabilité pour qu'un nombre soit multiple de n est égale à 1/n. Appelons p la probabilité pour que deux nombres soient premiers entre eux et p_n la probabilité pour que leur plus grand commun diviseur soit n. On aura naturellement :

D'autre part, pour que n soit le plus grand commun diviseur de deux nombres, il faut et il suffit que chacun de ces deux nombres soit multiple de n et que les quotients de ces deux nombres par n soient premiers entre eux ; on a donc p_n = p/n². Par conséquent :

On établit de la même façon que la probabilité pour que k nombres choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/ζ(k). Ce problème est donc étroitement lié à la fonction ζ(s) de Riemann (cf. fonction zêta). On sait que :

la probabilité pour que quatre nombres pris au hasard soient premiers entre eux est égale à :

Promenade au hasard

Considérons un quadrillage du plan et déterminons un parcours sur ce quadrillage en tirant au sort la direc [...]

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