PROBABILITÉS CALCUL DES

Quelques problèmes simples

Problème de l'aiguille de Buffon

Dans le volume VII du Supplément à son Histoire naturelle, Buffon aborde assez curieusement de nombreux problèmes de calcul des probabilités et de statistique (en particulier, il est parmi les premiers à avoir dressé des tables de mortalité). L'un des plus célèbres est celui de l'aiguille, dont l'énoncé est le suivant : Sur un plan sont tracées des droites parallèles distantes de h. On jette « au hasard » sur ce plan une aiguille de longueur l, avec l < h ; quelle est la probabilité pour que cette aiguille rencontre l'une des droites ?

Il convient de préciser ce que l'on entend par « au hasard » dans un tel problème, comme d'ailleurs dans bien d'autres, ainsi que nous le verrons plus loin. « Au hasard » veut dire ici que la probabilité pour que le milieu de l'aiguille tombe dans une région donnée est proportionnelle à l'aire de cette région et que l'orientation de l'aiguille, qui est indépendante de la position du milieu, obéit aussi à une loi uniforme : la probabilité pour que l'intersection de l'aiguille orientée avec une circonférence de rayon 1 se trouve sur un certain arc est égale à la mesure de cet arc divisé par 2 π.

Une solution élégante de ce problème a été donnée par E. Barbier vers 1860. Appelons N la variable aléatoire égale au nombre de points de rencontre de l'aiguille et du réseau de droites parallèles ; N prend la valeur 0 avec la probabilité 1 − p et la valeur 1 avec la probabilité p que l'on cherche : E(N) = p. Considérons maintenant une ligne polygonale, fermée ou non, de n côtés, et appelons N_i la variable aléatoire définie comme précédemment relative à chaque côté. Les différentes variables N_i ne sont pas indépendantes, mais on sait que, même dans ce cas (cf. chap. 3), on a :

en passant à la limite, cela revient à dire que, quelle que soit la forme d'une courbe, l'espérance mathématique du nombre de points d'intersection de cette courbe avec le réseau de droites parallèles est proportionnelle à la longueur L de cette courbe, donc de la forme kL. Si on prend pour courbe un cercle de diamèt [...]

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