PROBABILITÉS CALCUL DES

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Topologie aléatoire

Le calcul des probabilités distingue plusieurs sortes de convergences, dont la convergence en loi, la convergence en probabilité et la convergence presque sûre.

Convergence en loi

On dit qu'une suite (Xn) de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire X si les lois des Xn tendent vers la loi de X, sauf peut-être aux points de discontinuité de cette dernière. Comme on l'a vu au chapitre 3, la convergence en loi et la convergence en fonction caractéristique sont équivalentes. Cette convergence, que l'on appelle parfois aussi convergence légale et qui est analogue à la convergence vague de la théorie de la mesure, n'entraîne rien a priori sur la suite des variables Xn elles-mêmes : la suite des lois peut converger sans que la suite des variables converge (en un sens qui va être précisé).

Convergence en probabilité

On dit qu'une suite (Xn) de variables converge en probabilité vers une variable X si :

quel que soit ε > 0. Cette convergence est l'analogue de la convergence en mesure de la théorie de la mesure.

Convergence presque sûre

La convergence presque sûre est l'analogue de la convergence presque partout en théorie de la mesure. Une suite de variables Xn converge presque sûrement (ou presque certainement) vers une variable X si :

quel que soit ε > 0. En utilisant l'inégalité de Boole (cf. chap. 2), on voit que :
on en déduit que la convergence presque sûre entraîne la convergence en probabilité et que la convergence de la série :
conduit à la convergence presque sûre. Si la série (2) converge, on dit parfois que la suite (Xn) converge presque complètement sûrement vers X. Cette condition est en général plus forte que la convergence presque sûre, mais elle lui est équivalente quand les variables Xn − X sont indépendantes dans leur ensemble. En effet, on a, du point de vue ensembliste,
et, d'après la définition de l'indépendance, si les Xn − X sont indépendants, on pourra écrire les égalités :

Donc, si les Xn − X sont indépendants et si Xn converge presque sûrement vers X, le produit infini :

est convergent, ce qui équivaut à la convergenc [...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 14 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/