PROBABILITÉS CALCUL DES

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Lois des grands nombres et théorème central limite

Les théorèmes qui vont être énoncés maintenant sont des applications de toutes les notions précédentes. Ils sont très utiles dans les problèmes d'estimation.

Lois des grands nombres

Les « lois des grands nombres » concernent des ensembles de n variables aléatoires X1, ..., Xn indépendantes, ayant même loi de probabilité (isonomes, selon un mot récemment introduit dans la terminologie) ; le vocabulaire anglo-saxon désigne un tel ensemble sous le nom de sample, qui signifie échantillon. On a ainsi une cascade de théorèmes de plus en plus « fins » concernant le comportement de la moyenne :

de ces n variables aléatoires.

Théorème 1. Pour que (ΣXi)/n converge en probabilité vers a certain, il est nécessaire et suffisant que la fonction caractéristique ϕ(u) de la variable soit dérivable à l'origine avec a = − iϕ′(0), ce qui se traduit sur la fonction de répartition F(x) par l'ensemble des deux conditions :

Théorème 2. Pour que (ΣXi)/n converge presque sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que :

et que, de plus,
converge. Sur la fonction de répartition, ces conditions se traduisent par le fait que l'intégrale :
est convergente, avec :

Théorème 3. Pour que (ΣXi)/n converge presque complètement sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que − iϕ′(0) = a et que la fonction caractéristique ait une dérivée seconde. Pour la fonction de répartition, cela entraîne l'égalité :

et la convergence de :

Un cas particulier important est celui de la variable de Bernoulli qui décrit une épreuve de pile ou face (cf. chap. 4). Dans ce cas, X1 + ... + Xn est le nombre aléatoire de fois où l'on aura obtenu face au cours de n épreuves et :

sera la fréquence de face au cours de ces n épreuves. Cette variable étant bornée, les moments de tous ordres existent et les trois théorèmes précédents peuvent s'appliquer, le nombre a étant ici égal à la probabilité p d'obtenir face. Le premier théorème signifie que l'on peut trouver N tel que, si n est supérieur à N, il y a une probabilité arbitrairement petite pour que |fn − p|> ε, qu [...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/