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PROBABILITÉS CALCUL DES

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Lois des grands nombres et théorème central limite

Les théorèmes qui vont être énoncés maintenant sont des applications de toutes les notions précédentes. Ils sont très utiles dans les problèmes d'estimation.

Lois des grands nombres

Les « lois des grands nombres » concernent des ensembles de n variables aléatoires X1, ..., Xn indépendantes, ayant même loi de probabilité (isonomes, selon un mot récemment introduit dans la terminologie) ; le vocabulaire anglo-saxon désigne un tel ensemble sous le nom de sample, qui signifie échantillon. On a ainsi une cascade de théorèmes de plus en plus « fins » concernant le comportement de la moyenne :

de ces n variables aléatoires.

Théorème 1. Pour que (ΣXi)/n converge en probabilité vers a certain, il est nécessaire et suffisant que la fonction caractéristique ϕ(u) de la variable soit dérivable à l'origine avec a = − iϕ′(0), ce qui se traduit sur la fonction de répartition F(x) par l'ensemble des deux conditions :

Théorème 2. Pour que (ΣXi)/n converge presque sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que :

et que, de plus,
converge. Sur la fonction de répartition, ces conditions se traduisent par le fait que l'intégrale :
est convergente, avec :

Théorème 3. Pour que (ΣXi)/n converge presque complètement sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que − iϕ′(0) = a et que la fonction caractéristique ait une dérivée seconde. Pour la fonction de répartition, cela entraîne l'égalité :

et la convergence de :

Un cas particulier important est celui de la variable de Bernoulli qui décrit une épreuve de pile ou face (cf. chap. 4). Dans ce cas, X1 + ... + Xn est le nombre aléatoire de fois où l'on aura obtenu face au cours de n épreuves et :

sera la fréquence de face au cours de ces n épreuves. Cette variable étant bornée, les moments de tous ordres existent et les trois théorèmes précédents peuvent s'appliquer, le nombre a étant ici égal à la probabilité p d'obtenir face. Le premier théorème signifie que l'on peut trouver N tel que, si n est supérieur à N, il y a une probabilité arbitrairement petite pour que |fn − p|> ε, quel que soit ε > 0. Le deuxième implique qu'il y a une probabilité égale à 1 pour que la suite infinie des fréquences f1, f2, ..., fn, ... tende vers p. Enfin, le troisième indique qu'il y a encore une probabilité égale à 1 pour que la suite f 1(1), f 2(2), ..., f n(n), ... des fréquences tende vers p, la fréquence f n(n) étant calculée sur des « paquets » de n épreuves entièrement nouvelles pour chaque valeur de l'indice. On voit donc que la fréquence fn peut être considérée comme une estimation de la grandeur inconnue p. Nous avons évoqué ce problème dans le chapitre 2 consacré aux bases concrètes du calcul des probabilités.

Théorème central limite et loi de Poisson

Le théorème central limite est un théorème de convergence en loi (cf. chap. 7). Soit encore n variables constituant un échantillon, la fonction caractéristique des variables ayant une dérivée nulle à l'origine et une dérivée seconde ϕ″(0) = − σ2 (ce qui implique l'existence d'un moment d'ordre 2 égal à σ2). La fonction caractéristique de :

est égale à :
sous les conditions indiquées, elle tend vers :
quand n augmente indéfiniment. D'après ce que l'on a vu au chapitre 3, la loi de la variable aléatoire (3) tend donc vers la loi de Laplace-Gauss :

De nombreuses extensions, en particulier celle de Liapounov, ont été données à ce résultat : elles concernent des hypothèses moins restrictives sur les lois des variables Xi. Cette loi de Laplace-Gauss est d'un emploi fréquent en physique et en particulier en métrologie ; on l'appelle souvent loi des erreurs : c'est la loi[...]

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Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer cet article

Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

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Histogramme de fréquence - crédits : Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence

Encyclopædia Universalis France

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Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par , et
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Incendie de Londres, septembre 1666 - crédits : AKG-images
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
  • Afficher les 63 références
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