PROBABILITÉS CALCUL DES
- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
Lois des grands nombres et théorème central limite
Les théorèmes qui vont être énoncés maintenant sont des applications de toutes les notions précédentes. Ils sont très utiles dans les problèmes d'estimation.
Lois des grands nombres
Les « lois des grands nombres » concernent des ensembles de n variables aléatoires X1, ..., Xn indépendantes, ayant même loi de probabilité (isonomes, selon un mot récemment introduit dans la terminologie) ; le vocabulaire anglo-saxon désigne un tel ensemble sous le nom de sample, qui signifie échantillon. On a ainsi une cascade de théorèmes de plus en plus « fins » concernant le comportement de la moyenne :
Théorème 1. Pour que (ΣXi)/n converge en probabilité vers a certain, il est nécessaire et suffisant que la fonction caractéristique ϕ(u) de la variable soit dérivable à l'origine avec a = − iϕ′(0), ce qui se traduit sur la fonction de répartition F(x) par l'ensemble des deux conditions :
Théorème 2. Pour que (ΣXi)/n converge presque sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que :
Théorème 3. Pour que (ΣXi)/n converge presque complètement sûrement vers a certain, il est nécessaire et suffisant que − iϕ′(0) = a et que la fonction caractéristique ait une dérivée seconde. Pour la fonction de répartition, cela entraîne l'égalité :
Un cas particulier important est celui de la variable de Bernoulli qui décrit une épreuve de pile ou face (cf. chap. 4). Dans ce cas, X1 + ... + Xn est le nombre aléatoire de fois où l'on aura obtenu face au cours de n épreuves et :
Théorème central limite et loi de Poisson
Le théorème central limite est un théorème de convergence en loi (cf. chap. 7). Soit encore n variables constituant un échantillon, la fonction caractéristique des variables ayant une dérivée nulle à l'origine et une dérivée seconde ϕ″(0) = − σ2 (ce qui implique l'existence d'un moment d'ordre 2 égal à σ2). La fonction caractéristique de :
De nombreuses extensions, en particulier celle de Liapounov, ont été données à ce résultat : elles concernent des hypothèses moins restrictives sur les lois des variables Xi. Cette loi de Laplace-Gauss est d'un emploi fréquent en physique et en particulier en métrologie ; on l'appelle souvent loi des erreurs : c'est la loi[...]
- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
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- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
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- 10. Chaînes de Markov et martingales
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Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Pour citer cet article
Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
Histogramme de fréquence
Encyclopædia Universalis France
Sortie d'un domaine au hasard
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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PRIX ABEL 2020
- Écrit par Jean-François QUINT
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Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».
Hillel...
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ACTUARIAT & ACTUAIRES
- Écrit par Georges BLUMBERG
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L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...
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ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli
- Écrit par Bernard PIRE
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Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....
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ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance
- Écrit par Jean-Pierre AUDINOT, Universalis, Jacques GARNIER
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Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le... - Afficher les 62 références
Voir aussi
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- CARACTÉRISTIQUE FONCTION
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