PROBABILITÉS CALCUL DES

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Arithmétique des lois de probabilités

On désigne par l'expression arithmétique des lois de probabilités un ensemble de recherches et de résultats à l'origine desquels on relève principalement les noms de P. Lévy, H. Cramer et Yu. Linnik. Les questions traitées tournent autour du problème suivant : X étant une variable aléatoire, peut-elle être décomposée comme une somme de deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 ? Il va de soi que cette décomposition est toujours possible si X1 ou X2 est une variable aléatoire certaine ; on se placera donc toujours en dehors de ce cas trivial.

Il convient tout d'abord de faire une remarque sur les lois définies dans le chapitre précédent. Si X1 et X2 sont toutes deux des variables de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy, et si elles sont indépendantes, leur somme est aussi respectivement de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy : c'est une conséquence de la forme des fonctions caractéristiques. Dans le cas de Laplace-Gauss, la fonction caractéristique de la somme sera de la forme :

fonction caractéristique d'une loi de Laplace-Gauss ayant pour vecteur moyen la somme des vecteurs moyens et pour matrice de covariance la somme des matrices de covariance ; dans le cas de Poisson, la fonction caractéristique de la somme sera :
fonction caractéristique d'une loi de Poisson ayant pour paramètre la somme des paramètres des lois composantes. Dans le cas de Cauchy enfin, la fonction caractéristique de la somme sera exp {− 2|u|}, qui est la fonction caractéristique d'une loi de Cauchy à un changement d'échelle près. Il est remarquable que la réciproque de deux de ces résultats soit vraie : si X1 + X2 est une variable de Laplace-Gauss (resp. variable de Poisson) et si X1 et X2 sont indépendantes, X1 et X2 sont des variables de Laplace-Gauss (resp. variables de Poisson).

Ce théorème, simple dans son énoncé, avait été pressenti dès 1934 par P. Lévy qui avait indiqué certaines de ses conséquences. Il fut démontré par H. Cramer, en 1936, pour la loi de Laplace-Gauss et par D. Raikov, en 1937, pour la loi de Poisson. Le principe de [...]

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Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/