Universalis
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

PROBABILITÉS CALCUL DES

  • Article mis en ligne le
  • Modifié le
  • Écrit par

Arithmétique des lois de probabilités

On désigne par l'expression arithmétique des lois de probabilités un ensemble de recherches et de résultats à l'origine desquels on relève principalement les noms de P.  Lévy, H. Cramer et Yu. Linnik. Les questions traitées tournent autour du problème suivant : X étant une variable aléatoire, peut-elle être décomposée comme une somme de deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 ? Il va de soi que cette décomposition est toujours possible si X1 ou X2 est une variable aléatoire certaine ; on se placera donc toujours en dehors de ce cas trivial.

Il convient tout d'abord de faire une remarque sur les lois définies dans le chapitre précédent. Si X1 et X2 sont toutes deux des variables de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy, et si elles sont indépendantes, leur somme est aussi respectivement de Laplace-Gauss, ou de Poisson, ou de Cauchy : c'est une conséquence de la forme des fonctions caractéristiques. Dans le cas de Laplace-Gauss, la fonction caractéristique de la somme sera de la forme :

fonction caractéristique d'une loi de Laplace-Gauss ayant pour vecteur moyen la somme des vecteurs moyens et pour matrice de covariance la somme des matrices de covariance ; dans le cas de Poisson, la fonction caractéristique de la somme sera :
fonction caractéristique d'une loi de Poisson ayant pour paramètre la somme des paramètres des lois composantes. Dans le cas de Cauchy enfin, la fonction caractéristique de la somme sera exp {− 2|u|}, qui est la fonction caractéristique d'une loi de Cauchy à un changement d'échelle près. Il est remarquable que la réciproque de deux de ces résultats soit vraie : si X1 + X2 est une variable de Laplace-Gauss (resp. variable de Poisson) et si X1 et X2 sont indépendantes, X1 et X2 sont des variables de Laplace-Gauss (resp. variables de Poisson).

Ce théorème, simple dans son énoncé, avait été pressenti dès 1934 par P. Lévy qui avait indiqué certaines de ses conséquences. Il fut démontré par H. Cramer, en 1936, pour la loi de Laplace-Gauss et par D. Raikov, en 1937, pour la loi de Poisson. Le principe de la démonstration est le suivant : l'égalité X = X1 + X2, avec X1 et X2 indépendantes, entraîne l'égalité ϕX(u) = ϕX1(u) ϕX2(u) ; il s'agit donc de décomposer une fonction caractéristique de Laplace-Gauss (ou de Poisson) en un produit de deux fonctions caractéristiques, aucune de ces deux fonctions n'étant la fonction caractéristique d'une variable certaine. En utilisant des résultats de E. Picard, de É. Borel, de J. Hadamard et de S. Bernstein, on montre que cette décomposition en produit n'est possible que si X1 et X2 sont du même type que la variable initiale.

On a pu aller plus loin dans ces théorèmes de décomposition en produits de fonctions caractéristiques. Posons :

avec α1 > 0, α2 > 0. Yu. Linnik a établi que, si ϕX(u) est fonction caractéristique de Laplace-Gauss, il en est de même de ϕX1(u) et de ϕX2(u), et D. Dugué a montré le même résultat en remplaçant la loi de Laplace-Gauss par celle de Poisson. Enfin, Yu. Linnik a donné le théorème suivant qui regroupe tous ces résultats : dans l'égalité ci-dessus, si ϕX(u) est un produit d'une fonction caractéristique de Laplace-Gauss par une fonction caractéristique de Poisson, il en est de même pour ϕX1(u) et ϕX2(u).

Ces résultats d'une grande élégance ne peuvent être étendus à la loi de Cauchy : on connaît des exemples où :

sans que ϕX1 et ϕX2 soient de cette forme.

Ces théorèmes amorcent les recherches de décomposition : ce sont (tout au moins pour les lois de Laplace-Gauss et de Poisson) des théorèmes d'unicité. On a mis en évidence des cas d'impossibilité : il est facile d'établir qu'une variable de Bernoulli ne peut être décomposée de cette façon. Un problème particulièrement[...]

La suite de cet article est accessible aux abonnés

  • Des contenus variés, complets et fiables
  • Accessible sur tous les écrans
  • Pas de publicité

Découvrez nos offres

Déjà abonné ? Se connecter

Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

Carte mentale
Élargissez votre recherche dans Universalis

Classification

Pour citer cet article

Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence - crédits : Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence

Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard - crédits : Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard

Encyclopædia Universalis France

Afficher les 6 médias de l'article PROBABILITÉS CALCUL DES

Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par , et
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Incendie de Londres, septembre 1666 - crédits : AKG-images
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
  • Afficher les 63 références
Abonnez-vous à Universalis pour 1 euro

Rejoignez-nous

Inscrivez-vous à notre newsletter