PROBABILITÉS CALCUL DES

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Lois de répartition

La fin du chapitre précédent a attiré l'attention sur le cas où (Ω1, B1) est l'espace Rn muni de la tribu borélienne. Dans ce cas, l'ensemble (X1, ..., Xn) des n coordonnées d'un point constitue la variable aléatoire et l'on peut introduire une fonction de n variables x1, ..., xn :

On lui donne le nom de loi de probabilité (ou fonction de répartition) de la variable aléatoire considérée. C'est une fonction non décroissante de l'ensemble des n coordonnées. Dans le cas d'une coordonnée, la fonction F(x) non décroissante se décompose, selon le résultat classique de Lebesgue, en une somme :

de trois fonctions non décroissantes, où F1 est la fonction des « sauts » (c'est-à-dire qu'elle est constante en dehors des points de discontinuité de F, dont l'ensemble est au plus dénombrable, et qu'elle a en ces points de discontinuité une variation, un « saut » égal à celui de F). La fonction F − F1, qui est donc continue, se décompose en une somme de deux fonctions non décroissantes ; d'abord F3, absolument continue, c'est-à-dire égale à une intégrale de la forme suivante :
puis F2, égale naturellement à F − F1 − F3, qui sera non décroissante continue mais non absolument continue ; on prendra F2 telle qu'elle ne soit susceptible de variation que sur un ensemble de mesure nulle. Un exemple classique de cette dernière situation est la fonction attachée à l'ensemble triadique de Cantor : le nombre x étant compris entre 0 et 1, on l'exprime dans le système de base 3, soit :
ai est égal à 0, 1 ou 2. Considérons tous les x qui peuvent s'exprimer uniquement avec des ai égaux à 0 ou 2 (dans le cas où deux représentations sont possibles, on retiendra x si l'une des deux représentations ne comporte que des 0 ou des 2). Pour un tel x, posons :
en base 2, avec bi = 0 si ai = 0 et bi = 1 si ai = 2 ; en dehors de l'ensemble des x considérés, la fonction G sera constante. Cette fonction est continue et ne peut pas être représentée par une intégrale, car elle n'est pas absolument continue.

La décomposition F = F1 + F2 + F3 est unique ; bien entendu, une o [...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 03 décembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/