- 1. Position concrète du problème
- 2. Axiomatique
- 3. Instruments de travail
- 4. Lois et fonctions caractéristiques fondamentales
- 5. Arithmétique des lois de probabilités
- 6. Inégalités et équivalences
- 7. Topologie aléatoire
- 8. Lois des grands nombres et théorème central limite
- 9. Certaines lois de probabilités
- 10. Chaînes de Markov et martingales
- 11. Quelques problèmes simples
- 12. Bibliographie
PROBABILITÉS CALCUL DES
- Article mis en ligne le
- Modifié le
- Écrit par Daniel DUGUÉ
Certaines lois de probabilités
Lois sur les histogrammes
Dans le chapitre précédent, nous avons introduit la notion d'histogramme de fréquence et nous avons vu qu'il y a une probabilité égale à 1 pour que la suite des Hn(x) converge presque complètement sûrement vers F(x). Quand F(x) est continue, on peut donner sur cette convergence des précisions supplémentaires. On peut mesurer l'écart de Hn(x) à F(x) de bien des façons. Deux d'entre elles se prêtent très aisément aux calculs aboutissant à la loi de probabilité ou à la fonction caractéristique ; on peut retenir les formules suivantes :
La loi de Kolmogorov-Smirnov est le théorème suivant : Si F(x) est continue, on a :
La loi de von Mises-Smirnov s'énonce ainsi : Si F(x) est continue, la fonction caractéristique de la variable aléatoire :
La deuxième égalité du théorème de Kolmogorov-Smirnov rattache de façon assez singulière la loi de répartition de la probabilité aux fonctions θ de Jacobi, sous-produit de la théorie des fonctions elliptiques. Si on considère le carré de la variable aléatoire de Kolmogorov-Smirnov, soit :
On a cherché à étendre ces théorèmes à plusieurs dimensions. Le théorème de Kolmogorov-Smirnov n'a pas reçu d'extension : on ignore la forme de la loi de l'écart maximum entre l'histogramme des fréquences et la fonction de répartition dans Rn, pour n > 1. Par contre, D. Dugué a pu donner la forme de la fonction caractéristique de la variable généralisant celle de von Mises-Smirnov. Appelons Φp(u) le produit infini :
On a dressé des tables de toutes ces lois. Elles présentent cette particularité d'être indépendantes de la loi F dont on construit l'histogramme.
Considérons maintenant n variables de Bernoulli X1, X2, ..., Xn indépendantes, pour lesquelles p = q = 1/2, les deux valeurs équiprobables prises par la variable étant + 1 et − 1, et soit Si = X1 + ... + Xi. Ces sommes permettent de définir un nombre aléatoire K, nombre de sommes positives ou nulles. La limite de la loi de probabilité de K/n a une forme particulièrement simple : elle est égale à :
On a un résultat encore plus simple dû à B. V. Gnedenko. Revenons à l'histogramme Hn(x) d'un échantillon dont chaque variable obéit à la loi continue F(x) et considérons l'ensemble des x pour lesquels on a Hn(x) > F(x) ; cet ensemble aura une probabilité Πn qui est un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Le théorème de Gnedenko énonce que :
Lois dérivées de la loi de Laplace-Gauss
Cet ensemble de lois de répartition est particulièrement utile dans la partie de la statistique appelée l'analyse de variance. La loi de probabilité du carré d'une loi de Laplace-Gauss a pour fonction caractéristique :
La loi de probabilité du quotient de deux sommes de carrés de variables aléatoires de Laplace-Gauss de valeur moyenne nulle et de même variance, toutes ces variables étant indépendantes,[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Daniel DUGUÉ : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI
Classification
Pour citer cet article
Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
Histogramme de fréquence
Encyclopædia Universalis France
Sortie d'un domaine au hasard
Encyclopædia Universalis France
Autres références
-
PRIX ABEL 2020
- Écrit par Jean-François QUINT
- 1 824 mots
- 2 médias
Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».
Hillel...
-
ACTUARIAT & ACTUAIRES
- Écrit par Georges BLUMBERG
- 157 mots
L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...
-
ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli
- Écrit par Bernard PIRE
- 377 mots
Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....
-
ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance
- Écrit par Jean-Pierre AUDINOT , Encyclopædia Universalis et Jacques GARNIER
- 7 490 mots
- 1 média
Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le... - Afficher les 63 références
