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PROBABILITÉS CALCUL DES

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Inégalités et équivalences

La plus ancienne des inégalités utilisées en calcul des probabilités est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; si on pose :

en supposant bien entendu que ce moment d'ordre k existe, on a :
en fait, on a même, d'une manière plus précise mais moins utilisable (car la vitesse avec laquelle la limite est atteinte dépend de la loi de probabilité) :

On établit de même, et c'est un résultat très utile pour l'étude des lois des grands nombres, que l'existence du k-ième moment en valeur absolue E(|X|k) équivaut à la convergence des deux séries :

pour α > 0 et k > 0. Dans le même ordre d'idée, si :
le quotient :
tend vers 0 pour α > 0, k ≥ 0. Ces inégalités conduisent à des majorations utilisées dans l'étude de « lois des grands nombres ».

De la définition de la variance d'une variable aléatoire on déduit facilement que la variance de la somme de n variables indépendantes est la somme des variances, d'où, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

Soit maintenant X1, ..., Xn des variables (indépendantes ou non). On pose alors E(|Xi|) = M1(i). Considérant l'événement :

on a l'inégalité :

Kolmogorov a donné de ce même événement la majoration suivante :

les hypothèses étant que X1, ..., Xn sont indépendantes et toutes centrées, c'est-à-dire E(Xi) = 0  pour  i = 1,  ...,  n,  avec E(Xi2) = σi2. Ce résultat est indispensable pour démontrer la loi forte des grands nombres (ou loi presque sûre des grands nombres) ainsi que la loi du logarithme itéré due à Khintchine.

Ces trois dernières inégalités supposent l'existence de moments. P. Lévy a établi une inégalité portant sur la même probabilité, mais qui ne suppose l'existence d'aucun moment. Les variables aléatoires X1, ..., Xn étant indépendantes, on posera Sn = X1 + ... + Xn et on désignera par Cn la fonction de concentration de Sn (cf. chap. 3) ; supposons réalisée la condition suivante : les intervalles fermés de longueur égale à ε/2 et de probabilité maximale pour Sn, Sn − Sn − 1, ..., Sn − S1 ont l'origine comme point intérieur. On a alors :

cette inégalité a permis d'établir un théorème important, dont il sera question au chapitre 8, sur la convergence des séries aléatoires.

Signalons enfin une inégalité portant sur les fonctions caractéristiques :

cette inégalité est utilisée au chapitre 8 pour établir le théorème sur la limite de fonctions caractéristiques.

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Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Classification

Pour citer cet article

Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence - crédits : Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence

Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard - crédits : Encyclopædia Universalis France

Sortie d'un domaine au hasard

Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par , et
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Incendie de Londres, septembre 1666 - crédits : AKG-images
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
  • Afficher les 63 références
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