PROBABILITÉS CALCUL DES

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Inégalités et équivalences

La plus ancienne des inégalités utilisées en calcul des probabilités est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; si on pose :

en supposant bien entendu que ce moment d'ordre k existe, on a :
en fait, on a même, d'une manière plus précise mais moins utilisable (car la vitesse avec laquelle la limite est atteinte dépend de la loi de probabilité) :

On établit de même, et c'est un résultat très utile pour l'étude des lois des grands nombres, que l'existence du k-ième moment en valeur absolue E(|X|k) équivaut à la convergence des deux séries :

pour α > 0 et k > 0. Dans le même ordre d'idée, si :
le quotient :
tend vers 0 pour α > 0, ≥ 0. Ces inégalités conduisent à des majorations utilisées dans l'étude de « lois des grands nombres ».

De la définition de la variance d'une variable aléatoire on déduit facilement que la variance de la somme de n variables indépendantes est la somme des variances, d'où, en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev,

Soit maintenant X1, ..., Xn des variables (indépendantes ou non). On pose alors E(|Xi|) = M1(i). Considérant l'événement :

on a l'inégalité :

Kolmogorov a donné de ce même événement la majoration suivante :

les hypothèses étant que X1, ..., Xn sont indépendantes et toutes centrées, c'est-à-dire E(Xi) = 0  pour  i = 1,  ...,  n,  avec E(Xi 2) = σi 2. Ce résultat est indispensable pour démontrer la loi forte des grands nombres (ou loi presque sûre des grands nombres) ainsi que la loi du logarithme itéré due à Khintchine.

Ces trois dernières inégalités supposent l'existence de moments. P. Lévy a établi une inégalité portant sur la même probabilité, mais qui ne suppose l'existence d'aucun moment. Les variables aléatoires X1, ..., Xn étant indépendantes, on posera Sn = X1 + ... + Xn et on désignera par Cn la fonction de concentration de Sn (cf. chap. 3) ; supposons réalisée la condition suivante : les intervalles fermés de longueur égale à ε/2 et de probabilité maximale pour Sn, Sn − Sn − 1, ..., Sn − S1 ont l'origine comme point intérieur. On a alors :

cette inégalité a permis d'établir un théorème important, dont i [...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 octobre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/