PROBABILITÉS CALCUL DES

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Chaînes de Markov et martingales

On appelle chaîne une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn, ... telles que la loi de probabilité de Xn dépende des épreuves précédentes. Une chaîne de Markov simple est une suite de telles variables dans laquelle la loi de Xn dépend uniquement de l'épreuve Xn−1. Supposons que Ω soit l'ensemble {1, 2, ..., n} des n premiers entiers. Appelons pij la probabilité pour Xn de l'événement j, l'épreuve précédente de rang n − 1 étant i ; naturellement, on a :

quel que soit i. Considérons la matrice :
que l'on appelle souvent une matrice stochastique. La matrice unité est une matrice stochastique et le produit AB de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique : en effet, les éléments de AB sont bien entendu positifs et, de plus, on a :
l'ensemble des matrices stochastiques forme donc un semi-groupe. En particulier, les puissances d'une même matrice A forment un semi-groupe ; étant donné les axiomes du calcul des probabilités, la matrice An a pour élément de la i-ième ligne et de la j-ième colonne la probabilité pour la n-ième variable Xn de l'événement j, la première épreuve étant i et les probabilités de passage étant les mêmes quel que soit l'indice n (on dit que la chaîne est stable). Cherchons le comportement de An quand n augmente indéfiniment. La matrice A a pour valeur propre l'unité, car l'ensemble des équations :
est évidemment satisfait si tous les xi sont égaux et si λ = 1. On a, d'autre part, l'inégalité :
si on a à la fois pij ≠ 0, quels que soient i, j, et la non-réalisation de l'ensemble des égalités x1x2 ... xn, la seconde inégalité est stricte. Si on prend i égal à l'indice j1 tel que max|xj|=|xj1|, on a :
ce qui indique que les modules des valeurs propres différentes de 1 sont strictement inférieurs à 1. On montre que, dans le cas où tous les pij sont différents de 0, la valeur propre λ = 1 est simple. Il en résulte que, si l'on donne à A sa forme réduite R (diagonale, ou réduite de Cauchy si les valeurs propres différentes de 1 sont multiples), avec A = TRT−1, on aura AmTRmT−1 et, la valeur propre λ =  [...]

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  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer l’article

Daniel DUGUÉ, « PROBABILITÉS CALCUL DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 12 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-des-probabilites/