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PROBABILITÉS CALCUL DES

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Chaînes de Markov et martingales

On appelle chaîne une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn, ... telles que la loi de probabilité de Xn dépende des épreuves précédentes. Une chaîne de Markov simple est une suite de telles variables dans laquelle la loi de Xn dépend uniquement de l'épreuve Xn−1. Supposons que Ω soit l'ensemble {1, 2, ..., n} des n premiers entiers. Appelons pij la probabilité pour Xn de l'événement j, l'épreuve précédente de rang n − 1 étant i ; naturellement, on a :

quel que soit i. Considérons la matrice :
que l'on appelle souvent une matrice stochastique. La matrice unité est une matrice stochastique et le produit AB de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique : en effet, les éléments de AB sont bien entendu positifs et, de plus, on a :
l'ensemble des matrices stochastiques forme donc un semi-groupe. En particulier, les puissances d'une même matrice A forment un semi-groupe ; étant donné les axiomes du calcul des probabilités, la matrice An a pour élément de la i-ième ligne et de la j-ième colonne la probabilité pour la n-ième variable Xn de l'événement j, la première épreuve étant i et les probabilités de passage étant les mêmes quel que soit l'indice n (on dit que la chaîne est stable). Cherchons le comportement de An quand n augmente indéfiniment. La matrice A a pour valeur propre l'unité, car l'ensemble des équations :
est évidemment satisfait si tous les xi sont égaux et si λ = 1. On a, d'autre part, l'inégalité :
si on a à la fois pij ≠ 0, quels que soient i, j, et la non-réalisation de l'ensemble des égalités x1 = x2 ... xn, la seconde inégalité est stricte. Si on prend i égal à l'indice j1 tel que max|xj|=|xj1|, on a :
ce qui indique que les modules des valeurs propres différentes de 1 sont strictement inférieurs à 1. On montre que, dans le cas où tous les pij sont différents de 0, la valeur propre λ = 1 est simple. Il en résulte que, si l'on donne à A sa forme réduite R (diagonale, ou réduite de Cauchy si les valeurs propres différentes de 1 sont multiples), avec A = TRT−1, on aura Am = TRmT−1 et, la valeur propre λ = 1 étant simple et les autres valeurs propres étant de modules inférieurs à 1, la matrice Rm tendra vers une matrice dont le seul élément différent de 0 sera celui de la première ligne, première colonne ; cet élément est égal à 1. La matrice RmT−1 tendra vers une matrice dont les seuls éléments non nuls sont ceux de la première ligne, égaux à α1, α2, ..., αn, et la matrice Am tendra vers (ti1αj) si tij est l'élément général de T ; comme Am est une matrice stochastique, on a :
quel que soit i, et par suite :

Il en résulte que le nombre :

qui est, quand m tend vers l'infini, la limite de la probabilité pour que le système passe de l'état i à l'état j en m épreuves, est indépendant de i, c'est-à-dire de l'état initial. On a donc un premier cas d'ergodicité (indépendance de l'état initial) quand tous les pij sont différents de 0.

Afin d'illustrer cette étude, Poincaré a pris l'exemple du battage des cartes : Soit un jeu de N cartes ; la probabilité pour qu'une carte donnée occupe une place déterminée après un très grand nombre de battages est indépendante de la place que cette carte occupait initialement ; compte tenu de la symétrie du problème, cette probabilité est 1/N et elle ne dépend pas non plus, dans ce cas, de la place finale.

On appelle martingale une suite de variables aléatoires X1, X2, ..., Xn,... telles que :

ces suites discrètes de variables aléatoires ont été généralisées sous forme de processus continus (cf. processus stochastiques).

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Écrit par

  • : directeur de l'Institut statistique de l'université de Paris-VI

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Pour citer cet article

Daniel DUGUÉ. PROBABILITÉS CALCUL DES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009

Médias

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss - crédits : Encyclopædia Universalis France

Lois de Cauchy et de Laplace-Gauss

Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence - crédits : Encyclopædia Universalis France

Histogramme de fréquence

Encyclopædia Universalis France

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Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • PRIX ABEL 2020

    • Écrit par
    • 1 824 mots
    • 2 médias

    Le prix Abel 2020 a été attribué conjointement à Hillel Furstenberg et Gregory Margulis « pour l'utilisation visionnaire de méthodes issues de la théorie des probabilités et de celles des systèmes dynamiques en théorie des groupes, théorie des nombres et combinatoire ».

    Hillel...

  • ACTUARIAT & ACTUAIRES

    • Écrit par
    • 157 mots

    L'activité appelée actuariat, accomplie par des actuaires, consiste à faire des calculs de probabilités à partir de renseignements statistiques. Ces calculs sont le plus souvent destinés à établir des taux de primes d'assurance en tenant compte de la fréquence des risques courus : mortalité, maladie,...

  • ARS CONJECTANDI, Jacob Bernoulli

    • Écrit par
    • 377 mots

    Le traité Ars conjectandi (« Art de la conjecture ») est l'ouvrage le plus important du mathématicien suisse Jacob Bernoulli (1654-1705). Écrit de 1684 à 1689 lorsque Bernoulli enseigne la mécanique à l'université de Bâle, cet ouvrage resté incomplet fut publié en 1713, huit ans après la mort de l'auteur....

  • ASSURANCE - Histoire et droit de l'assurance

    • Écrit par , et
    • 7 490 mots
    • 1 média
    Incendie de Londres, septembre 1666 - crédits : AKG-images
    Pour que cet aléa disparaisse, il fallut attendre que la découverte du calcul des probabilités et le progrès de l'observation statistique permettent une prévision rationnelle du risque. Mais ce n'est qu'au xviie siècle que Pascal, à la demande d'un joueur de cartes passionné, le...
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