JEUX THÉORIE DES

La théorie des jeux se propose d'étudier des situations (appelées « jeux ») où des individus (les « joueurs ») prennent des décisions, chacun étant conscient que le résultat de son propre choix (ses « gains ») dépend de celui des autres. C'est pourquoi on dit parfois de la théorie des jeux qu'elle est une « théorie de la décision en interaction ». Les décisions ayant pour but un gain maximum – elles relèvent d'un comportement rationnel –, elles peuvent se prêter au traitement mathématique – calcul d'extremums, approche probabiliste. La théorie des jeux est de ce fait parfois présentée comme une « branche des mathématiques » ; il est vrai que des mathématiciens (Émile Borel et John von Neumann, qui se situaient dans une tradition remontant au moins à Pascal et Bernoulli) sont à son origine, et qu'elle demeure essentiellement le fait de mathématiciens. Pour que ceux-ci puissent utiliser leurs techniques, il faut toutefois que le contexte dans lequel les décisions sont prises soit spécifié avec précision (éventuellement en recourant à des distributions de probabilité). D'où le recours à des hypothèses extrêmement fortes, notamment en ce qui concerne l'information dont dispose chacun, qui conduisent parfois à des conclusions fort peu intuitives. Ces conditions imposées par le traitement mathématique font que les analyses de la théorie des jeux se prêtent mal à une présentation peu formelle, « littéraire », s'appuyant sur l'intuition, qui souvent en donne une vision erronée.

La théorie des jeux s'intéresse à des modèles d'un type particulier, les « jeux », qui sont constitués de trois éléments : les joueurs, leurs ensembles de stratégies (un par joueur) et les règles du jeu (qui portent notamment sur les gains et l'information de chacun). Après avoir caractérisé chacun de ces éléments, on s'intéressera aux divers types de solution proposés par les théoriciens des jeux pour leurs modèles, dans une perspective « coopérative » puis « non coopérative ».

Présentation générale

Un jeu est, au sens de la théorie des jeux, un modèle, dont les principaux ingrédients sont des individus (« joueurs ») qui prennent des décisions simultanément, en choisissant un élément d'un ensemble dont les caractéristiques font partie des hypothèses du modèle, et des règles, qui précisent notamment l'issue résultant des diverses décisions (simultanées) possibles – une issue étant généralement caractérisée par les gains qu'elle procure aux joueurs – et l'information dont dispose chacun. Les éléments de l'ensemble dans lequel les individus font leurs choix sont appelés « stratégies ». Dans les modèles de jeu en économie, les stratégies sont souvent des « paniers de biens » (offerts ou demandés) ou des « vecteurs de prix », ou bien les deux. Dans le cas où le jeu comporte plusieurs coups – l'ordre d'intervention des joueurs étant précisé à l'avance –, les stratégies sont alors des listes d'instructions, dans lesquelles les joueurs indiquent à l'avance ce qu'ils feront à chaque coup et dans chaque éventualité (qui dépend de ce qui peut se passer aux coups précédents). Pour que ces instructions puissent être données, il faut évidemment que les joueurs connaissent à l'avance l'ensemble des éventualités : l'information dont dispose chacun fait partie des hypothèses essentielles des modèles de la théorie des jeux.

Les hypothèses sur l'information

La plupart des modèles de théorie des jeux supposent qu'il y a information complète : chacun connaît ses stratégies et celles des autres, leurs caractéristiques et leurs motivations, ainsi que les diverses issues possibles du jeu (avec les gains correspondants). En résumé, chacun sait tout sur tout, y compris que les autres savent qu'il sait, qu'il sait qu'ils savent, etc. : tous les éléments du jeu sont common knowledge (« connaissance commune ») ; la seule incertitude porte alors sur la décision des autres (quelle stratégie vont-ils choisir ?).

Parfois, il est supposé qu'il y a information incomplète : comme en information complète, les joueurs connaissent l'ensemble des valeurs que peuvent prendre les paramètres du jeu (gains, caractéristiques des uns et des autres, etc.), mais ils ne savent pas forcément quelle est la valeur prise effectivement par certains d'entre eux. Une entreprise sait par exemple que les coûts fixes de sa concurrente sont égaux soit à 10, soit à 20, tout en ignorant si c'est 10 ou 20. Dans ce cas, on se ramène à des situations semblables à celles de l'information complète en attribuant des probabilités à chaque éventualité, et en supposant que ces probabilités sont connaissance commune.

Ces hypothèses sur l'information, mais aussi sur la forme des stratégies et sur le fait que les choix sont simultanés, sont extrêmement contraignantes : elles conduisent à envisager des situations très particulières, réduites à leur plus simple expression (les interactions pouvant, elles, être très complexes). Ce qui explique pourquoi les traités de théorie des jeux présentent celle-ci à partir d'exemples (apparemment) simples, dont le propos est souvent – curieusement – d'attirer l'attention sur les « dilemmes » ou « paradoxes » qui surgissent de décisions fondées sur le principe de rationalité, et donc sur les problèmes posés par la résolution de ces modèles.

Les diverses façons de représenter un jeu

La définition d'un jeu grâce à la seule utilisation de symboles mathématiques est particulièrement lourde, surtout si le jeu comporte plusieurs coups et admet l'existence de coalitions : l'ouvrage fondateur de la théorie des jeux, Game Theory and Economic Behavior, de John von Neumann et Oskar Morgenstern (1944), le fait en partie mais c'est probablement pour cela que l'on a dit de lui que c'était « l'ouvrage le plus cité et le moins lu » en économie...

En fait, les théoriciens des jeux partent très souvent d'exemples où il n'y a que deux joueurs, ce qui leur permet d'utiliser des représentations graphiques simples, par exemple un tableau (c'est la « forme stratégique » du jeu) ou un « arbre » (c'est sa « forme extensive »). La forme stratégique – ou « normale » – est particulièrement bien adaptée lorsqu'on est en présence de jeux à un coup, les stratégies des joueurs se réduisant alors à une seule action ; ainsi, dans l'exemple donné dans la figure 1, le joueur A dispose de deux stratégies (actions), notées a1 et a2, le joueur B de trois, notées b1, b2 et b3. (fig. 1)

Six issues sont donc possibles, chacune étant caractérisée par un vecteur de gains de la forme (x, y), où x est le gain de A, y celui de B (par exemple, les choix {a1, b1} se traduisent par un gain x = 5 pour A et y = 6 pour B).

Le caractère simultané des choix apparaît clairement lorsqu'un jeu est mis sous sa forme stratégique. Tel n'est pas le cas lorsqu'il est mis sous sa forme extensive, utilisée essentiellement lorsque les règles du jeu stipulent que celui-ci comporte plusieurs coups. La figure 2a donne un exemple de ce type de représentation, A choisissant d'abord parmi l'une des trois actions (stratégies) à sa disposition, B ayant à sa disposition deux actions, b1 et b2 (fig. 2a) :

Les stratégies de B ne se réduisent pas, ici, à ses actions : ce sont des listes d'instructions, de type conditionnel. Elles sont de la forme (bi, bj, bk), ce qui signifie : « si A choisit a1, j'opte pour bi ; s'il choisit a2, j'opte pour bj ; s'il choisit a3, j'opte pour bk ». B dispose donc de 23 = 8 stratégies ; la forme stratégique de ce jeu est donc (fig 2b) :

Cette façon de représenter le jeu a l'avantage de rappeler le caractère simultané des choix de A et B, ce qui est bien moins évident au vu de l'arbre de la figure 2a. Les représentations sont équivalentes en raison de l'hypothèse d'information complète : B connaît l'arbre du jeu et peut donc envisager toutes les alternatives possibles en « donnant des instructions » sur ce qu'il faut faire à chacune d'entre elles.

Cet exemple permet aussi de comprendre pourquoi le nombre de stratégies augmente de façon « hyperexponentielle » avec le nombre de coups. Ici, il n'y en a que 8, mais, par exemple, aux échecs, au deuxième coup, les noirs doivent choisir parmi plus de... 1052 stratégies !

Les jeux à plusieurs coups sont parfois qualifiés de « dynamiques ». Ce qui est trompeur, car si l'existence de coups successifs peut faire penser à un processus, en fait, il n'en est rien. Tout est décidé dès le choix (simultané) d'une stratégie par les joueurs (ce choix tenant compte, évidemment, des règles du jeu – notamment de l'ordre d'intervention de chacun). On a là un exemple typique de situation où mieux vaut ne pas se fier à l'intuition.

Concepts de solution et solutions d'un jeu

Un jeu est un modèle, dans lequel des individus (rationnels) doivent choisir une stratégie, dans le cadre de règles précises. Quelle peut alors être la « solution » d'un tel modèle ? La réponse semble aller de soi : c'est le choix fait, simultanément, par les joueurs en adoptant un comportement rationnel. Cette réponse n'est toutefois valable que s'il existe un choix qui s'impose à tous (et donc au modélisateur), de façon évidente, chacun faisant, par exemple, le gain maximum possible (dans le cadre du jeu envisagé). Mais ce genre de situation est extrêmement rare : en règle générale, l'issue d'un jeu qui procure le gain maximum à un joueur n'est pas celle qui procure le gain maximum à tous les autres (dans le cas de la figure 1, A obtient son gain maximum lorsque les choix sont {a2, b2}, B lorsqu'ils sont {a2,b3}). Autrement dit, il n'y a pas d'issue consensuelle, les intérêts des joueurs étant en partie liés, en partie opposés, comme lors d'un marchandage : les deux parties ont intérêt à « jouer » (à ce que la transaction se fasse), chacune voulant toutefois obtenir le gain le plus grand possible, compte tenu de ce que l'autre peut accepter.

Dans ces conditions, le théoricien privilégie certaines issues, soit parce qu'elles lui semblent plus vraisemblables (car compatibles avec des comportements rationnels), soit parce qu'elles sont plus recommandables (dans l'intérêt des joueurs) que d'autres. Le fait de supposer des comportements rationnels ne suffisant pas – notamment à cause du caractère contradictoire, au moins partiellement, des intérêts des joueurs –, le théoricien à la recherche de « solutions » va proposer des conditions supplémentaires, qu'il estime être « raisonnables ». Les théoriciens des jeux appellent « concept de solution » un ensemble de conditions imposées aux issues d'un jeu pour qu'on puisse les considérer comme des solutions de ce jeu. La définition de concepts de solution pertinents, et désignant si possible un nombre restreint de solutions, est une de leurs activités principales.

Ainsi, dans le cas du marchandage, John Nash (1950) a proposé un concept de solution où intervient, entre autres, une condition de symétrie (le partage doit être accepté par les deux joueurs lorsque chacun se met à la place de l'autre). À un tel concept de solution correspond généralement une solution unique, qui consiste, en gros, en un partage équitable des gains – évalués en bien-être, ou en « utilité ».

Un autre exemple de concept de solution est celui du maximin (ou du minimax) qui a joué un rôle important au début de la théorie des jeux. Il s'applique au cas des jeux à 2 joueurs et à somme nulle (ce que l'un gagne, l'autre le perd) – tels que les jeux de société ou les jeux de type guerrier. Ce concept de solution fait intervenir, outre la rationalité, une condition de prudence : toute solution est telle qu'un des joueurs choisit la stratégie qui maximise (condition de rationalité) son gain minimum (prudence) – c'est sa stratégie maximin –, l'autre optant pour la stratégie qui minimise sa perte maximum – c'est sa stratégie minimax. Ainsi, dans le jeu de la figure 1, la stratégie maximin de A est a2 (gain minimum de 4, contre –10 pour a1), celle de B étant b2 (gain minimum de 5, contre 3 pour b1 et –5 pour b3). Si on admet que les joueurs peuvent opter pour des stratégies mixtes – c'est-à-dire, pour des distributions de probabilité sur l'ensemble (fini) de leurs stratégies « d'origine », qualifiées alors de « pures » –, alors il existe au moins une solution pour ce concept de solution. Von Neumann a été le premier à démontrer (en 1928) ce résultat, appelé souvent « théorème du minimax ».

Le concept de solution « minimax » fait relativement l'unanimité parmi les théoriciens des jeux – le théorème du minimax contribuant sans doute à ce succès. Il ne s'applique toutefois qu'aux jeux à somme nulle (ou constante) et à deux joueurs, donc à une catégorie très particulière de jeu.

La théorie des jeux coopératifs

Dès que le jeu compte plus de deux joueurs, ceux-ci peuvent envisager de former des coalitions, en coopérant, d'une certaine façon (chacun ayant toujours pour objectif, néanmoins, de maximiser son gain personnel). La théorie des jeux coopératifs s'intéresse à ce type de situation ; plus précisément, elle prend pour point de départ les individus et toutes les coalitions qu'ils peuvent éventuellement former – sans préciser comment ils le font et comment leurs gains sont partagés entre leurs membres. Les concepts de solution proposés ont alors essentiellement pour but de désigner dans l'ensemble de ces coalitions celles qui peuvent perdurer – leurs membres n'étant pas incités à les quitter ; les théoriciens des jeux disent d'elles qu'elles sont « stables ». Les conditions qu'ils leur imposent ne doivent être ni trop fortes (au point qu'il n'y ait pas de solution), ni trop faibles (trop de solutions).

Von Neumann et Morgenstern ont été à l'origine de la théorie des jeux coopératifs. Ils voulaient l'utiliser pour rendre compte de certaines formes d'organisation sociale existantes (le fait qu'elles perdurent étant une preuve de leur « stabilité »). On peut néanmoins remarquer que l'approche par les jeux coopératifs est particulièrement lourde sur le plan formel, en raison notamment du nombre de coalitions possibles (2n — 1 dans un jeu à n personnes – soit, par exemple, 1 023 coalitions pour n = 10).

La fonction caractéristique

Les jeux sous forme coopérative sont généralement décrits par une « fonction caractéristique », qui associe un nombre (ou un vecteur de nombres) à chaque coalition (par exemple, le gain « maximin » que peut s'assurer cette coalition lorsqu'elle est opposée au reste de la société, supposé lui-même regroupé dans une coalition). La principale propriété de cette fonction est d'être superadditive, ce qui signifie que les gains obtenus en formant une coalition, quelle qu'elle soit, sont supérieurs à ceux qui sont obtenus « séparément », hors coalition (il y a donc intérêt à former des coalitions).

À titre d'exemple, considérons le jeu très simple dans lequel trois personnes – disons A, B et C – doivent partager un « gâteau », ou un magot, dont on suppose que la valeur est égale à 1. On est donc en présence d'un jeu à trois joueurs, de somme constante, chacun cherchant à obtenir la part la plus importante possible du gâteau. Si ce jeu est décrit par la fonction caractéristique v (.) telle que :

v({A}) = v({B}) = v({C}) = 0

v({A, B}) = v({A, C}) = v({B, C}) = 1

v({A, B, C}) = 1

cela signifie qu'un individu seul n'obtient rien (première ligne), que si deux individus forment une coalition, ils raflent tout (deuxième ligne) – et ne laissent donc rien à l'individu restant –, et que, trivialement, s'ils forment tous une coalition, l'ensemble du gâteau leur revient (troisième ligne).

Cette description du jeu ne dit évidemment pas comment le partage se fait au sein des coalitions – ni comment celles-ci se forment.

La fonction caractéristique est bien ici superadditive, puisqu'on a, par exemple :

v({A, B}) > v({A}) + v({B})

(il en est de même avec A et C, et B et C).

La fonction caractéristique est généralement utilisée pour décrire un jeu sous forme coopérative ; c'est aussi à partir d'elle que la plupart des concepts de solution, pour ce type de jeu, sont définis.

Imputations et ensembles stables de von Neumann et Morgenstern

Un premier concept de solution est celui d'« imputation », qui désigne des issues optimales au sens de Pareto (il n'existe pas d'autre issue telle que quelqu'un ait un gain plus élevé sans que d'autres aient un gain moindre) et telles que chaque membre d'une coalition, quelle qu'elle soit, y obtient un gain au moins aussi grand que celui qu'il peut obtenir en agissant seul. Les imputations étant, en règle générale, très nombreuses – dans le jeu décrit plus haut, tout partage du gâteau est une imputation –, d'autres conditions ont été proposées pour restreindre l'ensemble des solutions, tout en renforçant leur « stabilité ».

C'est dans cette perspective que von Neumann et Morgenstern ont introduit la notion de domination ; par définition, l'imputation x domine l'imputation y s'il existe au moins une coalition S de x dont tous les membres ont un gain plus grand en x qu'en y. Par exemple, dans le cas du partage du gâteau, l'imputation (1/2 , 1/2, 0) – qui attribue 1/2 à A et B et 0 à C – est dominée par l'imputation (0, 3/4, 1/4), car cette dernière est préférée par B (qui gagne 3/4 plutôt que 1/2) et par C (qui gagne 1/4 plutôt que 0). L'idée est donc d'éliminer, d'une façon ou d'une autre, les imputations dominées ; il se peut toutefois que x domine y et que y domine x (la coalition qui fait que x domine y étant évidemment différente de celle qui fait que y domine x). En outre, le critère de domination n'est pas complet – il se peut que ni x domine y, ni y domine x : tel est le cas des partages (1/2, 1/2, 0) et (1/2 , 0, 1/2).

Von Neumann et Morgenstern ont appelé ensemble stable – ou « solution » – d'un jeu décrit par une fonction caractéristique, tout ensemble d'imputations tel que les imputations n'appartenant pas à cet ensemble soient dominées par l'un (au moins) des éléments de cet ensemble (qui ne peuvent être, eux, classés selon le critère de domination). La « stabilité » tient ici au fait qu'on peut considérer qu'une imputation n'appartenant pas à une solution de von Neumann et Morgenstern va se désagréger, certains joueurs ayant la possibilité de former une autre coalition (qui fait partie d'une imputation de l'ensemble stable) où leurs gains sont plus élevés. Ainsi, dans le cas du partage du gâteau, l'ensemble d'imputations :

{(1/2 , 1/2 ,0), (1/2 , 0, 1/2), (0, 1/2 , 1/2)}

est stable selon von Neumann et Morgenstern (pour plus de détails, voir Luce et Raiffa, 1957).

Le concept de solution proposé par von Neumann et Morgenstern permet de faire un tri parmi les imputations, et donc de restreindre le nombre de « solutions » proposées. Il n'est toutefois pas très satisfaisant, pour au moins deux raisons. D'une part, le fait que les imputations d'une solution (un ensemble stable) dominent l'ensemble des autres imputations n'exclut pas qu'elles soient elles-mêmes dominées par certaines imputations, qui n'appartiennent pas à cette solution. La « stabilité » de celle-ci est donc toute relative. D'autre part, un jeu peut comporter plusieurs ensembles stables de von Neumann et Morgenstern, chacune étant formée de plusieurs imputations. Ainsi, dans le cas du partage du gâteau, les ensembles formés par les imputations du type (k, b, c), où k est une constante donnée, comprise entre 0 et 1/2 – b > 0 et c > 0 étant tels que k + b + c = 1 – sont stables aussi, au sens de von Neumann et Morgenstern (comme le sont les ensembles d'imputations de la forme (a, k, c) et (a, b, k)).

Quelle solution, et quelle imputation, retenir ? Von Neumann et Morgenstern sont conscients de ce problème ; ils pensent qu'il ne peut être résolu dans le cadre de la théorie et invoquent le rôle des « normes de comportement » – donc, des facteurs non expliqués par la théorie – qui vont finalement déterminer la situation qui prévaudra.

Le cœur

L'un des principaux inconvénients de la solution de von Neumann et Morgenstern est que ses imputations peuvent être elles-mêmes dominées et donc, d'une certaine façon, « non stables ». D'où l'idée d'introduire une nouvelle condition, qui consiste à exclure les imputations dominées, et à définir ainsi un nouveau concept de solution : le cœur. Celui-ci est donc un ensemble d'imputations qui domine toutes les autres et qui ne sont pas elles-mêmes dominées. Les imputations en dehors du cœur ne sont donc pas « stables », puisqu'elles sont dominées par une au moins des imputations du cœur, alors que ces dernières sont « stables », car non dominées. L'idée sous-jacente – bien que jamais clairement formulée –est que, « à la longue », le système se « stabilisera » en l'une des imputations du cœur.

La condition consistant toutefois à ne retenir que des imputations non dominées est loin d'être anodine. Ainsi, des jeux très simples peuvent ne pas avoir de cœur (celui-ci est vide). Tel est le cas, par exemple, du jeu du partage à trois personnes qui nous sert d'exemple : quelle que soit l'imputation (a,b,c), elle est dominée par (0, b + a/2, c + a/2) si a ≠ 0, par (a + b/2, 0, c + b/2), si b ≠ 0, par (a + c/2,b + c/2,0) si c ≠ 0.

Le cœur peut être vide, mais il peut aussi comporter une infinité d'éléments, comme dans le modèle de base en économie, le modèle d'échange avec marchandage (sans prix). Francis Edgeworth a cependant remarqué, dès 1881, que sous certaines hypothèses, le cœur se rétrécit lorsque le nombre de joueurs augmente, au point de se réduire à une ou quelques affectations des ressources (les « équilibres walrasiens ») lorsque ce nombre est infini. Il revient à Gérard Debreu et Herbert Scarf d'avoir démontré, en 1963, cette propriété du cœur. Ce résultat est parfois évoqué pour justifier l'importance donnée à l'équilibre walrasien – situation où il y a égalité des offres et demandes de tous les biens, à prix donnés – dans beaucoup d'analyses théoriques en économie ; il est cependant d'une portée très restreinte, puisqu'il ne vaut que s'il y a une infinité d'échangistes, en supposant d'ailleurs qu'un équilibre est atteint, sans préciser comment.

L'ensemble de marchandage, le noyau, etc.

D'autres concepts de solution – souvent moins restrictifs que le cœur mais plus exigeants que la solution de von Neumann et Morgenstern – ont été proposés par les théoriciens des jeux. Tel est le cas de l'ensemble de marchandage, qui prend en compte l'existence d'imputations qu'un joueur A peut opposer à un autre, B, lorsque ce dernier est tenté par une nouvelle coalition, en le dissuadant de le faire, car il verrait finalement son gain diminuer. Ainsi, dans l'exemple du partage du gâteau, l'ensemble de marchandage se réduit à une seule imputation : (1/3, 1/3, 1/3).

Les imputations de l'ensemble de marchandage peuvent être dominées (par des imputations susceptibles, toutefois, d'entraîner des représailles) ; ainsi (1/3, 1/3, 1/3) est dominée, entre autres, par (1/2, 1/2, 0), contrairement à celles du cœur – celui-ci est par conséquent contenu dans l'ensemble de marchandage, dont on démontre qu'il n'est pas vide.

Le noyau (kernel), le nucleolus et la valeur de Shapley sont des concepts de solution proposés dans la même perspective, mais qui font intervenir le pouvoir de négociation de chaque joueur, mesuré à partir de la « contribution » qu'il peut apporter en participant à chacune des coalitions possibles. L'approche est ici clairement cardinale, tous les gains étant évalués en unité commune, ce qui permet de les additionner et de les comparer (pour une vision d'ensemble de ces concepts de solution, voir Shubik, 1982).

L'abondance de concepts de solution – conséquence du caractère largement indéterminé de l'issue de tout marchandage – a probablement joué un rôle dans la relative désaffection qu'a connue la théorie des jeux coopératifs à la fin des années 1970, au profit de l'approche non coopérative, devenue prépondérante.

Approche non coopérative et équilibre de Nash

L'approche non coopérative, en théorie des jeux, prend les individus pour unique point de départ : elle peut évidemment envisager l'existence de coalitions, mais en tant que résultat – ou solution – du jeu (et non en tant que caractéristique de celui-ci). Autrement dit, la théorie des jeux non coopératifs s'intéresse exclusivement aux choix des joueurs, dans le cadre des règles du jeu.

Équilibre de Nash et croyances

Le principal concept de solution dans la perspective non coopérative est l'équilibre de Nash, qui découle d'une certaine façon de l'hypothèse selon laquelle les individus sont rationnels. En effet, un équilibre de Nash est une combinaison de stratégies, une par joueur, telle que chacun maximise son gain, compte tenu de ce que font les autres. Il y a bien maximisation du gain, comme le veut la rationalité, mais elle dépend de ce que font les autres. Or, comment savoir, au moment de la prise de décision, ce qu'ils vont faire (rappelons que les règles d'un jeu supposent des choix simultanés) ? Les anticipations de chacun sur ce que les autres vont faire sont donc un élément essentiel de l'équilibre de Nash. Comme, en règle générale, les anticipations sont un paramètre déterminé en dehors du modèle, c'est là une des faiblesses principales de l'équilibre de Nash en tant que concept de solution. Ainsi, dans le cas de la figure 1, il n'y avait qu'un équilibre de Nash (en stratégies pures) : {a1, b1}.

Peut-on pour autant prédire qu'il représente les choix effectifs des deux joueurs ? Pas vraiment. En effet, après avoir constaté que {a2, b2} procure des gains supérieurs à l'un et à l'autre, A peut se dire : « En choisissant a2, je m'assure un gain au moins égal à 4, alors que mon gain maximum avec a1, 5, n'est que légèrement supérieur. En outre, B peut anticiper mon raisonnement ; évidemment, en choisissant alors b3, il obtiendrait le gain maximum (9), mais si je n'agis pas comme il prévoit, alors il fait une lourde perte (— 5). Mieux vaut pour lui d'opter pour b2, qui lui rapporte 8 (ou, au pire, 5). » Si B raisonne de façon similaire, en se mettant à la place de A, alors il peut effectivement opter pour b2 (mais il peut aussi le faire pour b3, la combinaison {a2, b3} étant cependant plus risquée pour lui que {a2, b2}).

Équilibre de Nash et optimalité

L'exemple précédent permet de voir non seulement le lien étroit entre équilibre et croyances (ou anticipations), mais il montre que l'équilibre de Nash peut ne pas être optimal au sens de Pareto (il existe une issue qui procure aux deux joueurs un gain supérieur à celui de l'équilibre). Le « dilemme des prisonniers » attire tout particulièrement l'attention sur ce point, indépendamment du problème des croyances. Il se présente sous la forme (fig. 3) :

, avec : s > p, p > q, q > r. Ce qui s'interprète ainsi : si deux « prisonniers » – soupçonnés d'avoir commis un larcin – décident de se taire (ils optent pour leurs stratégies d'indice 1, a1 et b1), alors leur gain, p, est supérieur à celui, q, qui est obtenu s'ils se dénoncent mutuellement (choix des stratégies d'indice 2) ; mais chacun est « tenté » par une forte prime, s, promise à celui qui dénonce son complice sans être dénoncé par lui (d'où l'inégalité s > p) ; en revanche, celui qui se tait tout en étant dénoncé par son complice est lourdement sanctionné (d'où l'inégalité q > r).

Ce jeu présente deux particularités :

– la stratégie a2 est dominante : pour chaque choix possible de B, elle procure à A un gain supérieur à celui que lui procure a1 (en raison des inégalités s > p et q > r) ; il en est de même pour la stratégie b2 ;

– l'issue résultant du choix de ces stratégies dominantes, (q, q), est pourtant sous-optimale, puisqu'elle rapporte moins aux deux joueurs que l'issue (p, p) en raison de l'hypothèse p > q.

Ces deux particularités sont à l'origine du « dilemme » : le fait que A et B aient chacun une stratégie dominante les conduit à opter pour elle, surtout que chacun sait que l'autre a une stratégie dominante, et qu'il sait que l'autre sait qu'il en a une, etc. Mais le choix, d'une certaine façon inéluctable, de la stratégie dominante par les deux joueurs, aboutit à une issue sous-optimale (les « prisonniers » se dénoncent mutuellement alors qu'ils auraient tous deux intérêt à se taire). Le « dilemme » tient ici au fait que le modèle n'a qu'un seul équilibre de Nash, qui va de soi tout en étant sous-optimal.

Or la situation décrite dans ce modèle est très fréquente : cas de deux entreprises qui ont intérêt à s'entendre plutôt que de se faire une concurrence sans merci, cas des actions collectives (si chacun apporte une petite contribution, tout le monde bénéficie du résultat, qui ne serait pas possible sans cette contribution), etc. La question de la sous-optimalité de l'équilibre de Nash est donc loin d'être secondaire.

On retrouve cette sous-optimalité dans le jeu sous forme séquentielle de la figure 2, dont on détermine un équilibre de Nash en procédant à rebours, en commençant par examiner ce que fait B, au dernier coup. Celui-ci se dit : « Si A choisit a1, j'opte pour b2 ; si A choisit a2, j'opte également pour b2 ; si A choisit a3, j'opte pour b1. » Autrement dit, B choisit la stratégie (conditionnelle) (b2, b2, b1). Comme A sait tout cela (hypothèse d'information complète), il choisit a2 (qui lui assure un gain de 5, contre 4 pour a1 et 3 pour a3, en prévoyant ce que B va faire) ; le couple {a2,(b2, b2, b1)} est un équilibre de Nash, avec pour gains (5, 5). Cet équilibre est sous-optimal puisque l'issue qui résulte des actions a1 puis b1 procure des gains plus élevés aux deux joueurs [soit, (10, 7)].

Les jeux répétés

L'équilibre de Nash peut donc être sous-optimal, même lorsqu'il résulte de choix « évidents » (stratégies dominantes). D'où l'idée de répéter le jeu : en s'apercevant du caractère sous-optimal de leurs choix, les joueurs ne peuvent que les modifier, de façon à augmenter leurs gains. Pourtant, il n'en est rien, du moins si le jeu est répété un nombre fini de fois et si on s'en tient à l'équilibre de Nash en tant que concept de solution. En effet, comme les deux joueurs anticipent le déroulement du jeu, ils vont raisonner « à rebours » : au dernier coup, chacun dénonce l'autre, en s'attendant à ce qu'il en fasse autant (pour les mêmes raisons que dans le jeu à un coup) ; à l'avant dernier coup, chacun prévoit ce qui se passera au dernier coup, et en déduit qu'il doit aussi dénoncer l'autre ; et ainsi de suite, jusqu'au premier coup. Conclusion : le jeu ne comporte qu'un seul équilibre de Nash, formé par le couple de stratégies {sA, sB} où si (i = A,B) est de la forme : « je dénonce l'autre à tous les coups, quoi qu'il fasse » (on vérifie aisément que cet équilibre est unique : toute stratégie comportant une instruction « ne pas dénoncer » rapporte un gain inférieur – quelle que soit la stratégie opposée – que la même stratégie, dans laquelle on change seulement cette instruction par « dénoncer » – conséquence des inégalités s > p > q > r). Les stratégies sA et sB sont, en fait, dominantes dans le jeu répété : leur choix s'impose donc de la même façon que dans le jeu à un coup. Toutefois, plus le jeu est répété, plus la « perte » – relativement à l'issue dans laquelle les joueurs ne se dénoncent pas, quoi qu'il arrive – est grande (s'il est répété n fois, elle est égale à n(p — q)) : le « dilemme » est d'autant plus frappant que le jeu est répété un grand nombre de fois, contrairement à ce qu'on aurait pu croire a priori.

L'équilibre de Nash dans le dilemme des prisonniers répété un nombre fini de fois n'est ni une bonne prédiction – les personnes auxquelles ce jeu est proposé ne choisissent pratiquement jamais la stratégie de dénonciation systématique –, ni une option recommandable. Autrement dit, il peut difficilement être considéré comme une « solution » du modèle, aussi bien empiriquement du point de vue de ce qui se passe effectivement qu'en tant qu'objectif souhaitable en termes de recommandation.

Pour sortir d'un tel « dilemme », il faut modifier les hypothèses du modèle. Par exemple, en supposant que le jeu est répété indéfiniment. Le raisonnement « à rebours » ayant permis de trouver l'(unique) équilibre de Nash ne s'applique plus ; mais on passe alors d'un équilibre unique (et sous-optimal) à une infinité d'équilibres. Ainsi, il y a équilibre si chaque joueur adopte la stratégie : « Je me tais tant que l'autre se tait ; s'il me dénonce ne serait-ce qu'une fois, alors je le dénonce à tous les coups suivants, indéfiniment. » C'est la « coopération par la menace » ; à cet équilibre, le gain de chaque joueur est, à chaque coup, supérieur de p — q au gain de l'équilibre dans lequel les deux joueurs se dénoncent mutuellement, dès le départ. Mais il existe une infinité d'autres équilibres, dans lesquels les gains des joueurs sont différents ; par exemple, celui où un joueur « tolère » une dénonciation de l'autre pendant k coups, à condition qu'il se taise ensuite pendant k' coups, l'autre joueur n'en tolérant pas (le rapport entre k et k' dépendant de celui entre q et r).

L'existence d'une infinité d'équilibres est une caractéristique de la plupart des jeux répétés indéfiniment, connue sous le nom de « théorème de tout le monde » (folk theorem) tellement sa démonstration semble aller de soi aux théoriciens des jeux ; « théorème » qui peut être énoncé de la façon suivante : « Toute issue d'un jeu répété indéfiniment qui rapporte aux joueurs un gain supérieur à celui qu'ils peuvent s'assurer en toute circonstance (en utilisant leur stratégie maximin), peut être obtenue en tant qu'équilibre de Nash. » La multiplicité des équilibres, à laquelle on se heurte ici, est un autre des problèmes posés par les modèles de théorie des jeux.

Existence et multiplicité des équilibres Nash

Une des raisons pour lesquelles l'équilibre de Nash est privilégié par la théorie des jeux non coopératifs en tant que concept de solution tient au fait que John Nash a démontré, en 1950, ce qui constitue probablement le principal résultat de la théorie des jeux : tout jeu à n joueurs où chacun dispose d'un nombre fini de stratégies, comporte au moins un équilibre (de Nash), à condition d'admettre que les joueurs peuvent opter pour des stratégies mixtes, c'est-à-dire pour des distributions de probabilités sur les stratégies d'origine, appelées alors « stratégies pures ».

Le théorème de Nash nécessite donc d'envisager des gains espérés, qui dépendent des probabilités affectées par les joueurs à leurs stratégies pures. Ce sont d'ailleurs ces probabilités qu'ils annoncent au moment où ils ont pris leur décision, de sorte que chacun peut alors calculer son espérance de gain et savoir s'il y a équilibre. Par exemple, le jeu suivant, décrit dans la figure 4, n'a qu'un équilibre, en stratégies mixtes, dans lequel chaque joueur affecte une probabilité de 1/2 à chacune de ses stratégies (fig. 4)

.

Cet équilibre est donc le couple de stratégies (mixtes) :

{(1/2, 1/2) ; (1/2, 1/2)},

le gain espéré de chacun étant égal à :

(1/2 )(1/2) . 1 + (1/2)(1/2) . 0 + (1/2)(1/2) . 1 + (1/2 )(1/2) . 0 = 1/2.

Les stratégies mixtes sont toutefois une invention de mathématicien : leur signification prête à discussion, comme les théoriciens des jeux le reconnaissent eux-mêmes (Rubinstein, 1998).

Un jeu peut ne pas comporter d'équilibre – en stratégies pures –, mais il peut aussi en comporter plusieurs. Tel est le cas des jeux dits « de coordination », dont « la bataille des sexes » et « la poule mouillée » sont les plus connus ; les figures 5

et 6
en donnent des exemples chiffrés.

Dans le premier exemple, la « bataille des sexes », A et B veulent avant tout « agir de concert », en adoptant tous deux la même stratégie (par exemple : la stratégie 1, « aller au théâtre », ou la stratégie 2, « aller au football »), mais A préfère le théâtre, B le football. Il y a donc deux équilibres (en stratégies pures) : {a1, b1} (celui que A préfère) et {a2, b2} (préféré par B).

Dans le second exemple, la « poule mouillée », choisir des stratégies de même indice implique des pertes pour les deux joueurs (c'est soit le « choc frontal », stratégie 1, soit être une « poule mouillée », stratégie 2), mais adopter sa stratégie 2 alors que l'autre garde sa stratégie d'indice 1, c'est perdre son pari. Il y a donc deux équilibres (en stratégies pures) : {a1,b2} et {a2,b1}.

Que prédit la théorie ? Avec les éléments dont on dispose, rien. Même pas que les choix seront tels qu'il y a équilibre. En effet, tout dépend de ce que chacun pense de l'autre – de ses croyances à son propos. Par exemple, dans le cas de la figure 5, si les deux joueurs pensent que l'autre est une poule mouillée, alors ils opteront tous deux pour leur première stratégie, et ce sera le choc frontal. De même, dans la bataille des sexes, si chacun pense que l'autre ne cédera pas, alors le choix sera {a2, b1} – ce qui n'est pas non plus un équilibre (tout en étant sous-optimal).

Croyances, normes et rationalité limitée

Les exemples précédents rappellent le rôle essentiel joué par les croyances dans la définition même de l'équilibre de Nash. Il est possible d'invoquer, à leur propos, des facteurs extérieurs – conventions, habitudes, traditions, etc. –, comme von Neumann et Morgenstern le font avec les « normes de comportement ». Mais, ce faisant, on reconnaît le caractère incomplet de la théorie, qui ne peut fournir à elle seule des explications ou des prédictions.

Les théoriciens des jeux ont consacré, et consacrent toujours, beaucoup d'énergie à la définition ce qu'ils appellent des « raffinements » de l'équilibre de Nash. L'objectif est d'imposer des conditions supplémentaires à ce concept de solution, de façon à restreindre le nombre d'équilibres ; ces conditions portent essentiellement sur la pertinence des croyances qui sous-tendent tout équilibre, surtout dans les jeux à plusieurs coups.

Parfois, pour sortir des dilemmes, les hypothèses sur lesquelles sont bâtis les jeux sont légèrement modifiées. Il en est ainsi dans le cas du dilemme des prisonniers répété un nombre fini de fois : si on admet un certain flou dans l'information, alors le dilemme est résolu, du moins en partie. Il suffit pour cela que l'un des joueurs ait un doute sur la rationalité de l'autre pour que tous deux décident de se taire aux premiers coups, pour leur plus grand bien mutuel – le coup à partir duquel ils commencent à se dénoncer mutuellement dépend de l'ampleur du doute, qui prend la forme d'une probabilité (voir, par exemple, Kreps, 1999). Ce faisant, on résout le dilemme, mais pour se trouver devant une constatation qui va à l'encontre du discours usuel : la présence d'incertitude ou de comportements apparemment irrationnels peut être bénéfique à tout le monde.

Dans la même perspective, les théoriciens des jeux accordent, depuis les années 1990, de plus en plus d'importance à l'idée de « rationalité limitée » : les capacités de calcul des joueurs et l'information dont ils disposent étant restreintes, ils adoptent des règles de comportement relativement simples, qu'ils peuvent éventuellement modifier lors du déroulement du jeu (dont la nature change alors profondément – il n'y a plus besoin de se limiter au cas où les choix sont uniques et simultanés). On peut toutefois se demander si, en restreignant l'hypothèse de rationalité, on n'abandonne pas l'objectif même de la théorie des jeux, qui est d'étudier l'interaction de décisions d'individus rationnels. Cette remarque s'applique tout particulièrement à la théorie des jeux dite « évolutionniste », apparue dans les années 1980.

Théorie des jeux et évolution

Dans les années 1970-1980, des biologistes ont cherché à utiliser les concepts et les techniques de la théorie des jeux pour représenter certains aspects de l'évolution, dans une perspective darwinienne (voir Maynard Smith, 1982). Pour cela, ils partent de l'idée que les animaux d'une même espèce, ou d'espèces proches, sont en compétition sur des territoires aux ressources limitées. De leur confrontation résultent des « gains », évalués en capacité à engendrer un plus ou moins grand nombre de descendants. L'exemple généralement donné est celui des interactions entre des « colombes » et des « faucons », dans le tableau suivant :

Un faucon obtient donc un gain maximum lorsqu'il se trouve face à une colombe (il s'approprie toutes les ressources, la colombe se retirant prudemment) et un gain minimal (qui peut se traduire par sa propre disparition) lorsqu'il se trouve face à un autre faucon ; lorsqu'elles sont entre elles, les colombes se partagent les ressources à égalité.

La situation ressemble à celles que décrivent les jeux sous forme stratégique (comme dans la figure 1). Elle comporte cependant des différences essentielles, à commencer par le fait qu'il n'y a pas ici de « joueurs » qui décident, ou choisissent, quoi que ce soit. Le tableau donne en réalité le résultat de confrontations entre stratégies – dont la liste est la même en ligne et en colonne (d'où la symétrie du tableau). On est aux antipodes du propos initial de la théorie des jeux, qui est l'étude des « décisions en interaction ».

L'approche évolutionniste de la théorie des jeux se comprend mieux si on raisonne non pas avec des individus, mais avec des populations. Chaque stratégie (représentant un type d'individu) est alors affectée d'un coefficient – proportion d'individus de ce type dans la population totale – qui peut être interprété comme une probabilité ; une distribution par types de la population est alors de la même forme qu'une stratégie mixte (liste de probabilités affectées aux stratégies pures). L'idée est alors de chercher parmi les diverses répartitions de la population par types (faucons ou colombes), si certaines sont « stables », dans le sens où elles perdurent, une fois établies (par exemple, x p. 100 de faucons et 1 — x p. 100 de colombes). Le concept de solution proposé alors est celui de stratégie évolutionnairement stable : c'est une stratégie (distribution de probabilités) qui procure un gain plus grand lorsqu'elle est confrontée à elle-même que lorsqu'elle est confrontée à toute autre stratégie, même si on admet qu'elle est légèrement modifiée. Cette dernière condition a pour but de tenir compte d'éventuelles mutations (qui, au départ, affectent peu d'individus) : une population répartie selon une stratégie évolutionnairement stable produit plus de descendants que toute autre à laquelle elle est confrontée et, en outre, ne peut être modifiée par une quelconque mutation. Ainsi, une population formée exclusivement de colombes n'est pas évolutionnairement stable, puisque tout « faucon » qui apparaît chez elle par mutation a une descendance importante, qui bénéficie elle-même d'une situation favorable, et ainsi de suite, du moins tant que la proportion de faucons ne devient pas trop importante (une population formée exclusivement de faucons n'est pas non plus évolutionnairement stable).

Formellement, une stratégie évolutionnairement stable se détermine comme on le fait pour une stratégie mixte d'un équilibre de Nash – ce qui peut laisser croire, à tort, qu'elle résulte d'un choix.

Le fait de disposer d'ordinateurs de plus en plus puissants a permis, également à partir des années 1980, d'effectuer des « tournois » entre stratégies conditionnelles, confrontées, deux à deux et successivement. Joueurs et stratégies sont donc confondus, comme dans les jeux évolutionnistes. L'exemple le plus utilisé, dans cette perspective, est celui du dilemme du prisonnier répété, le but étant de montrer que les stratégies consistant à ne pas dénoncer l'autre, tant qu'il ne le fait pas, procurent plus de gains, en moyenne, que d'autres, pourtant plus agressives – autrement dit, de montrer qu'une certaine forme de « coopération » peut être payante et donc perdurer. Robert Axelrod (1984, 1997) donne un exposé détaillé des objectifs de telles expériences, ainsi que de leurs résultats.

—  Bernard GUERRIEN

Bibliographie

R. Axelrod, Évolution de la coopération, trad. franç., Odile Jacob, 1984 ; The Complexity of Cooperation, Princeton University Press, 1997

G. Debreu & H. Scarf, « A limit theorem on the core of an economy », in Econometrica, 1963

D. Kreps, Théorie des jeux et modélisation économique, Dunod, Paris, 1999

D. Luce & H. Raiffa, Games and Decisions, Wiley, 1957

J. Maynard Smith, Evolution and the Theory of Game, Cambridge University Press, 1982

J. Nash, « The bargaining problem », in Econometrica, 1950 ; « Equilibrium Points in N-Persons Games », in Proceedings of the National Academy of Sciences of the U.S.A., 36, 1950

J. von Neumann & O. Morgenstern, Game Theory and Economic Behavior, Princeton University Press, 1944 ; 2e éd., 1947

A. Rubinstein, in B. Paulré dir., « Commentaires sur l'interprétation de la théorie des jeux », in Épistémologie de la stratégie en économie, Publications de la Sorbonne, 1998

M. Shubik, Théorie des jeux et sciences sociales, trad. franç., Economica, 1982.

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  • Françoise PICHON-MAMÈRE
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1994 est comme un cadeau d'anniversaire. Cinquante ans plus tôt, en 1944, John Von Neumann et Oskar Morgenstern publiaient la première édition d'un ouvrage fondateur, The Theory of Games and Economic Behaviour. En 1994, trois des plus grands théoriciens des jeux sont récompensés par l' […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-forbes-nash/#i_12059

NEUMANN JOHN VON (1903-1957)

  • Écrit par 
  • Jean-Luc VERLEY
  •  • 1 818 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Théorie des jeux et mathématiques économiques »  : […] Bien que certains jeux stratégiques aient été abordés par E. Borel, c'est von Neumann et son collègue de Princeton, l'économiste autrichien O. Morgenstern, qui sont les véritables créateurs de la théorie mathématique des jeux avec leur célèbre Theory of Games and Economic Behavior (1944) : cet ouvrage […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/john-von-neumann/#i_12059

NOUVELLE ÉCONOMIE POLITIQUE, analyse économique du vote

  • Écrit par 
  • Jean-François LASLIER
  •  • 7 210 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « La compétition électorale downsienne »  : […] Plus exactement, le modèle formel de la compétition downsienne pure est un jeu à deux joueurs et à somme nulle (ou constante, ce qui revient au même). C'est le cas si on considère que l'utilité d'un parti est + 1 s'il gagne l'élection et – 1 s'il la perd, ou encore si on considère que l'utilité d'un parti est simplement le nombre de voix qu'il […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/nouvelle-economie-politique/#i_12059

OPÉRATIONNELLE RECHERCHE

  • Écrit par 
  • Georges CULLMANN
  •  • 5 548 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « La caractéristique des problèmes de concurrence »  : […] faut savoir abandonner la prétention d'une détermination strictement objective des facteurs entrant dans l'évaluation du choix. La théorie des jeux est, dans ce domaine, d'un grand secours (cf. théorie des jeux). On peut sommairement classer ces problèmes en deux catégories : les jeux contre la nature et les jeux à deux personnes. L'espérance […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherche-operationnelle/#i_12059

PASCAL BLAISE (1623-1662)

  • Écrit par 
  • Dominique DESCOTES, 
  • François RUSSO
  •  • 8 434 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Les probabilités, les « partis » »  : […] d'avoir fondé le calcul des probabilités. Avant lui, sans doute, les jeux de hasard, les risques des opérations commerciales et leur légitimité morale avaient donné lieu à nombre de considérations où se dessinait une amorce de théorie. Mais Pascal le premier aborde ces sujets de façon générale et mathématique, et cela à l […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/blaise-pascal/#i_12059

POLITIQUE - La science politique

  • Écrit par 
  • Marcel PRÉLOT
  •  • 7 878 mots

Dans le chapitre « Méthodes mathématiques »  : […] hui une particulière importance à la « construction des modèles », à la « théorie des jeux » et à la « théorie de la décision » dont il est impossible ici de résumer les démarches par elles-mêmes compliquées et présentées de manières très différentes suivant leurs inventeurs et leurs utilisateurs (cf. théorie de la […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/politique-la-science-politique/#i_12059

POPULATIONS ANIMALES (DYNAMIQUE DES)

  • Écrit par 
  • Robert BARBAULT, 
  • Jean-Dominique LEBRETON
  •  • 12 019 mots
  •  • 18 médias

Dans le chapitre « L'approche comparative et les modèles d'optimisation »  : […] à des problèmes de compromis évolutifs à l'aide de modèles théoriques d'optimalité, issus notamment de la théorie des jeux. Un rôle essentiel dans cette approche est joué par la notion de stratégie « évolutivement » stable, due au britannique John Maynard-Smith, qui correspond à une stratégie qui ne peut être envahie par aucune autre. Cette […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/animal-dynamique-des-populations/#i_12059

PROTECTIONNISME

  • Écrit par 
  • Bernard GUILLOCHON
  •  • 6 508 mots

Dans le chapitre « La protection du grand pays : le tarif optimal »  : […] car ceux-ci se replient sur eux-mêmes, ce qui les prive des gains de l'échange. Cette surenchère protectionniste est le résultat naturel d'une situation analysée par la théorie des jeux et qualifiée de « dilemme du prisonnier ». Dans une telle configuration, chaque État, anticipant le comportement de l'autre, est conduit à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/protectionnisme/#i_12059

RAPOPORT ANATOL (1911-2007)

  • Écrit par 
  • David AUBIN
  •  • 938 mots

C'est aussi à Stanford que Rapoport se familiarise avec la théorie des jeux de John von Neumann (1903-1957) et Oskar Morgenstern (1902-1977). Il a publié plusieurs livres d'introduction sur le sujet, dont un traduit en français : Théorie des jeux à deux personnes (1966). Bien que […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/anatol-rapoport/#i_12059

RECHERCHES SUR LES PRINCIPES MATHÉMATIQUES DE LA THÉORIE DES RICHESSES, Antoine Augustin Cournot - Fiche de lecture

  • Écrit par 
  • Claire PIGNOL
  •  • 1 094 mots

Dans le chapitre « Les fondements d'une théorie de la concurrence imparfaite »  : […] du xixe siècle par Bertrand et Edgeworth, sera réinterprétée dans la seconde moitié du xxe siècle en termes de jeux non coopératifs, dans lesquels les joueurs agissent séparément les uns des autres. L'analyse des stratégies utilisées par ces joueurs fonde la théorie contemporaine de la concurrence […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/recherches-sur-les-principes-mathematiques-de-la-theorie-des-richesses/#i_12059

SCHELLING THOMAS CROMBIE (1921-2016)

  • Écrit par 
  • Françoise PICHON-MAMÈRE
  •  • 1 284 mots

Thomas Schelling a également consacré une grande partie de ses travaux à l'analyse des « jeux de pure coordination ». Il a étudié les situations dans lesquelles les individus ne réfléchissent, ni en fonction d'une analyse rationnelle des intérêts en jeu ou de leurs croyances individuelles, ni même en se demandant ce que sont les croyances […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/thomas-crombie-schelling/#i_12059

SELTEN REINHARD (1930-2016)

  • Écrit par 
  • Françoise PICHON-MAMÈRE
  •  • 706 mots

En 1944, John von Neumann et Oskar Morgenstern publiaient la première édition d'un ouvrage fondateur, The Theory of Games and Economic Behaviour. La théorie des jeux n'était alors qu'une curiosité. Conçue par des […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/reinhard-selten/#i_12059

SPORT (Histoire et société) - Économie

  • Écrit par 
  • Wladimir ANDREFF
  •  • 6 790 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « Le dopage »  : […] L'aspect stratégique du dopage est pris en compte par la théorie des jeux. Le dopage pose un problème de « dilemme du prisonnier ». Deux athlètes en situation identique (tous les deux dopés ou tous les deux non dopés) partagent moitié-moitié le gain des compétitions sportives. Si l'un est dopé, l'autre non, le premier gagne […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sport-histoire-et-societe-economie/#i_12059

STRATÉGIE ET TACTIQUE

  • Écrit par 
  • Bertrand SAINT-SERNIN
  •  • 3 632 mots

Dans le chapitre « Le vocabulaire mathématique »  : […] au calcul ; de plus, les mathématiques sont un instrument de connaissance moins pénétrant que l'intuition psychologique. De ce fait, on peut dire que, si l'idée de la mathématisation des problèmes stratégiques est claire dès le début du xviiie siècle, le concept mathématique de stratégie n'est apparu nettement que dans les notes de Borel ( […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/strategie-et-tactique/#i_12059

THÉORIE DE LA JUSTICE, John Rawls - Fiche de lecture

  • Écrit par 
  • Samuel FEREY
  •  • 1 253 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Le contrat social comme procédure de choix d'institutions justes »  : […] d'ignorance » : les individus ne savent rien de leur position, de leurs talents ou encore de leurs goûts dans la société. Dès lors, et conformément à la solution du maximin en théorie des jeux, chaque individu, craignant d'être dans la pire situation sociale, choisira la société qui maximise le sort du plus défavorisé […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-de-la-justice/#i_12059

TIROLE JEAN (1953-    )

  • Écrit par 
  • Emmanuelle AURIOL
  •  • 1 125 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « De la théorie des jeux avant toute chose… »  : […] obtenir en 1978 un doctorat de troisième cycle en mathématiques de la décision à l'université de Paris-Dauphine et, enfin, un doctorat en économie au Massachusetts Institute of Technology (MIT). Il soutiendra ce dernier en 1981 sous la direction d'Eric Maskin, prix Nobel d’économie en 2007. C’est à cette époque qu’il se forme à la théorie des jeux […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-tirole/#i_12059

XENAKIS IANNIS (1922-2001)

  • Écrit par 
  • Juliette GARRIGUES, 
  • Michel PHILIPPOT
  •  • 2 892 mots

Dans le chapitre « Un pythagoricien »  : […] (1959) et Stratégie, pour 82 musiciens divisés en deux orchestres (1962), c'est à partir de procédés inspirés par la théorie des jeux de John von Neumann et Oskar Morgenstern qu'il oppose deux chefs d'orchestre dont chacun imagine sa « tactique » musicale en fonction de celle de l'autre. Sans oublier que tous ces […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/iannis-xenakis/#i_12059

Voir aussi

Pour citer l’article

Bernard GUERRIEN, « JEUX THÉORIE DES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-des-jeux/