POLYNÔMES

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Fonctions polynomiales

À l'exception de tout ce qui concerne les racines, les résultats qui seront énoncés dans le présent chapitre s'étendent facilement au cas des polynômes à plusieurs indéterminées ; nous nous contenterons de les énoncer pour les polynômes à une indéterminée.

Fonction polynomiale associée à un polynôme formel

Soit A un anneau commutatif unitaire et :

un élément de A[X] écrit sous la forme (3). On appelle valeur de P sur un élément ∈ A l'élément :
et fonction polynomiale associée à P l'application P* : A → A définie par P*(x) = P(x) ; dans la pratique, on désigne encore par P cette fonction polynomiale.

Les fonctions polynomiales, c'est-à-dire les applications de A dans A pouvant s'obtenir à partir des éléments de A[X], forment un anneau commutatif unitaire, et l'application de K[X] dans cet anneau qui à tout polynôme formel associe la fonction polynomiale correspondante est un homomorphisme (par définition surjectif) d'anneaux. Si A est un anneau d'intégrité infini, cet homomorphisme est en fait un isomorphisme, c'est-à-dire que deux polynômes P et Q ∈ A[X] sont égaux si et seulement si P(x) = Q(x) pour tout ∈ A. Pour obtenir un contre-exemple, il suffit de prendre pour A le corps fini }0, 1, 2{ des classes d'entiers modulo 3 ; le polynôme non nul :

prend la valeur 0 en tout point de A.

Remarque

Soit L un sur-anneau de l'anneau A. La formule (8) permet de définir P(x) pour tout ∈ L et de définir ainsi une application polynomiale, dite encore associée à P, de L dans L. Cette remarque va nous permettre de préciser un point de notation. Prenons pour L le sur-anneau A[X] ; si Q ∈ A[X], la notation P(Q) désigne un élément de A[X] qui s'obtient en « substituant Q à X » et en développant les puissances de Q obtenues, en tenant compte des règles de calcul dans A[X]. Si on prend, en particulier, Q = X, on obtient le polynôme P lui-même, soit P(X) = P, ce qui nous permet d'utiliser indifféremment, pour désigner un polynôme, la notation P ou la notation P(X).

Prenant l'anneau A[X, Y] des polynômes à deux indéterminées pour sur-anneau, on peut donc définir P(X [...]


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Écrit par :

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Pour citer l’article

Jean-Luc VERLEY, « POLYNÔMES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 17 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/