RÉELS NOMBRES

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Rapports et mesures des grandeurs

La mesure des longueurs

Dès qu'il s'agit de mesurer, une longueur par exemple, l'idée première est de la comparer avec une autre longueur, qui sert de référence, à laquelle on donne volontiers le nom d'« unité ». Cette unité choisie (en fonction du type de longueur mesurée), on la reporte plusieurs fois de façon à recouvrir la longueur à mesurer. Si l'on tombe juste, le nombre entier de reports effectués constitue une mesure (relative donc) de la longueur ; sinon, on doit se contenter de dire que cette mesure se situe entre tel nombre entier et son successeur. Pour préciser, il faut changer d'unité de référence. Une seconde idée est alors de prendre une partie exacte de l'unité initiale et de recommencer l'opération ; dans bien des cas, on trouve une mesure sinon exacte, du moins qui paraît satisfaisante, et la mesure de la longueur initiale se présente de manière naturelle comme un rapport d'entiers. Se pose alors la question théorique de savoir si, une unité étant choisie, toute longueur peut ainsi se mesurer comme un quotient d'entiers. La réponse négative à cette question a sans doute constitué la première crise intellectuelle de l'humanité, car elle établissait par la seule raison démonstrative, une incohérence du sens commun.

Nous ignorons les circonstances exactes de cette démonstration, élaborée vers le vie siècle avant J.-C. dans le cadre de l'École de Pythagore mais le témoignage d'Aristote, certes tardif, nous montre à l'œuvre une parfaite maîtrise du raisonnement par l'absurde. Comparons en effet la longueur de la diagonale d'un carré à celle d'un côté prise pour unité de référence. Si cette mesure est un quotient d'entiers, disons p/q, le théorème de Pythagore fournit aussitôt la relation (p/q)2 = 2. La contradiction s'établit alors en établissant que les entiers p et q sont simultanément pairs et impairs. On peut en effet supposer l'un pair et l'autre impair, quitte à diviser chacun par un multiple convenable de 2, ce qui ne change pas le rapport. Comme un carré d'entiers n'est pair que si le nombre entier lui-même est pair, l'égalité p2 = 2q2 implique la parité de soit p = 2r, où r est un entier ; il en résulte la relation 2rq2 d'où résulte, de la même façon, la parité de q.

Puisque la mesure de la diagonale par rapport au côté n'est pas exprimable comme rapport d'entiers, on la déclara inassignable, imprononçable (en grec ἄρρητος), voire sans raison (ἄλογος), car on appelait « raison » (λόγος) un rapport d'entiers, la logistique étant le calcul sur les entiers et les rapports d'entiers. La crise des irrationnels débutait.

Bien vite, d'autres mesures irrationnelles font leur apparition et Platon, dans le Théètète tente un premier essai de classification. La contradiction rencontrée dans la notion de mesure rendait-elle cette idée caduque ? On doit vraisemblablement à Eudoxe de Cnide le dépassement de la contradiction au prix d'un incroyable effort d'abstraction ; faute de pouvoir calculer l'impensable mesure de la diagonale, Eudoxe pense l'incalculable. Sa théorie nous est connue à travers le livre V des Éléments d'Euclide et il n'est pas possible de rendre compte de l'histoire des nombres réels sans rentrer dans quelques détails de ce livre.

Les raisons

Le but cherché est de pouvoir parler de la raison de deux longueurs, cette raison étant perçue comme un outil de comparaison de ces deux longueurs, outil qui ne saurait se réduire à un rapport d'entiers. Eudoxe va donc ajouter d'autres rapports aux seuls rapports entiers par des encadrements habiles. De façon précise, il part de deux longueurs notées A et B et deux autres notées C et D. La notion clé est l'égalité entre la raison de A à B et la raison de C à D. Il y a égalité lorsque, quels que soient les entiers naturels positifs m et n, l'ordre de mA par rapport à nB est exactement le même que l'ordre de mC par rapport à nD. Autrement dit, on doit avoir les implications suivantes, où > signifie « strictement plus grand » :

Cette égalité des raisons, dont la transitivité est explicitement démontrée, permet aussitôt de parler de longueurs proportionnelles où la langue grecque, avec une remarquable économie de moyens, utilise le mot ἄνάλογον, c'est-à-dire « longueurs analogues ayant même raison ». L'étape suivante est de comparer les raisons (λόγο [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

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Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 02 octobre 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/