RÉELS NOMBRES

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Rapports et mesures des grandeurs

La mesure des longueurs

Dès qu'il s'agit de mesurer, une longueur par exemple, l'idée première est de la comparer avec une autre longueur, qui sert de référence, à laquelle on donne volontiers le nom d'« unité ». Cette unité choisie (en fonction du type de longueur mesurée), on la reporte plusieurs fois de façon à recouvrir la longueur à mesurer. Si l'on tombe juste, le nombre entier de reports effectués constitue une mesure (relative donc) de la longueur ; sinon, on doit se contenter de dire que cette mesure se situe entre tel nombre entier et son successeur. Pour préciser, il faut changer d'unité de référence. Une seconde idée est alors de prendre une partie exacte de l'unité initiale et de recommencer l'opération ; dans bien des cas, on trouve une mesure sinon exacte, du moins qui paraît satisfaisante, et la mesure de la longueur initiale se présente de manière naturelle comme un rapport d'entiers. Se pose alors la question théorique de savoir si, une unité étant choisie, toute longueur peut ainsi se mesurer comme un quotient d'entiers. La réponse négative à cette question a sans doute constitué la première crise intellectuelle de l'humanité, car elle établissait par la seule raison démonstrative, une incohérence du sens commun.

Nous ignorons les circonstances exactes de cette démonstration, élaborée vers le vie siècle avant J.-C. dans le cadre de l'École de Pythagore mais le témoignage d'Aristote, certes tardif, nous montre à l'œuvre une parfaite maîtrise du raisonnement par l'absurde. Comparons en effet la longueur de la diagonale d'un carré à celle d'un côté prise pour unité de référence. Si cette mesure est un quotient d'entiers, disons p/q, le théorème de Pythagore fournit aussitôt la relation (p/q)2 = 2. La contradiction s'établit alors en établissant que les entiers p et q sont simultanément pairs et impairs. On peut en effet supposer l'un pair et l'autre impair, quitte à diviser chacun par un multiple convenable de 2, ce qui ne change pas le [...]

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Écrit par :

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur d'études à l'École des hautes études en sciences sociales

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Pour citer l’article

Jean DHOMBRES, « RÉELS NOMBRES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 20 septembre 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/nombres-reels/