MODÉLISATION, mathématique

Carte mentale

Élargissez votre recherche dans Universalis

Théorie des modèles

La notion de modèle en logique s'attache à établir le lien précis entre les formules – qui sont des objets finis purement syntaxiques – et les structures elles-mêmes (construites de manière ensembliste), qui pourront posséder ou non les propriétés exprimées par les formules.

Choisissons par exemple le langage composé des symboles =, + et s (en plus des symboles purement logiques). Des formules de ce langage seront par exemple : pour tout x : x + s(y) = s(x + y) ; pour tout x, pour tout y, pour tout z : (x + y) + z = x + (y + z).

Un modèle de ces deux formules sera une structure vérifiant les formules. Un tel modèle pourrait être ici la donnée de (ℕ, s',+') avec ℕ l'ensemble des entiers, s' la fonction successeur de ℕ dans ℕ, +' l'addition entre entiers (il faut distinguer les symboles s et + des objets ensemblistes qui constituent le modèle et qu'on note s' et +'). Il existe bien d'autres possibilités, par exemple prenant comme ensembles d'objets de base des ensembles finis ou infinis non dénombrables.

Parmi ses résultats, la théorie des modèles indique pour le calcul des prédicats du premier ordre (un seul type d'objet est envisagé pour les quantifications « quel que soit » et « il existe ») que :

– si un ensemble de formules F possède un modèle, alors F possède aussi un modèle dont la base est infinie dénombrable (théorème de Löwenheim et Skolem, 1915 et 1920) ;

– si un ensemble de formules F ne possède pas de modèle, alors il existe un sous-ensemble fini de F qui n'en possède pas (théorème de finitude) ;

– un ensemble de formules F possède un modèle, si et seulement si on ne peut déduire de F (en utilisant les règles de raisonnement du calcul des prédicats) une contradiction (théorème de complétude de Kurt Gödel, 1930).


1  2  3  4  5
pour nos abonnés,
l’article se compose de 3 pages




Écrit par :

Classification


Autres références

«  MODÉLISATION, mathématique  » est également traité dans :

AUTOMATIQUE

  • Écrit par 
  • Hisham ABOU-KANDIL, 
  • Henri BOURLÈS
  •  • 12 271 mots

Dans le chapitre « Systèmes continus »  : […] L' automatique dite « continue », qui fait l'objet de tous les développements qui suivent, étudie les systèmes « continus ». En première approximation, on peut définir ces systèmes comme étant ceux dont « l'état » x ( t ) à chaque instant t (la notion d'état ne sera définie que plus loin avec précision) ne peut pas se représenter simplement, comme plus haut, par une suite de nombres binaires 0 ou […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/automatique/#i_41514

BARRAGES

  • Écrit par 
  • Claude BESSIÈRE, 
  • Pierre LONDE
  •  • 15 785 mots
  •  • 16 médias

Dans le chapitre « Barrages-voûtes »  : […] Un barrage-voûte s'arc-boute sur les flancs de la vallée pour leur transmettre les efforts provenant de la poussée de l'eau (fig. 3) . Son mode de résistance est différent de celui d'un barrage-poids et son degré de sécurité, qui s'apprécie en fonction de l'événement qui risque le plus de provoquer sa ruine, relève d'un tout autre critère. En effet, contrairement à un barrage-poids, dans un barra […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/barrages/#i_41514

BIG DATA

  • Écrit par 
  • François PÊCHEUX
  •  • 6 152 mots
  •  • 3 médias

Dans le chapitre « Les aspects algorithmiques et logiciels du big data »  : […] Les logiciels de gestion de bases de données traditionnels s’appuient sur les mathématiques relatives à la théorie des ensembles pour appliquer des algorithmes de recherche exhaustifs et déterministes (pour un algorithme donné, les mêmes données initiales impliquent le même résultat en sortie) sur des données fortement structurées (en tables contenant des lignes d’informations pertinentes appelées […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/big-data/#i_41514

GRANGER GILLES GASTON (1920-2016)

  • Écrit par 
  • Elisabeth SCHWARTZ
  •  • 1 695 mots

Dans le chapitre « Une philosophie au travail »  : […] Celui que les journaux parisiens, lors de son élection au Collège de France en 1986 à une chaire de philosophie laissée vacante par la mort de Michel Foucault, présentaient à juste titre comme un auteur inconnu du grand public offrait une œuvre imposante forte de huit titres magistraux, dont l’écriture était d’une extraordinaire clarté, mais dont la technicité demandait évidemment beaucoup de trav […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/granger-gilles-gaston-1920-2016/#i_41514

MATHÉMATIQUES ENSEIGNEMENT DES

  • Écrit par 
  • André REVUZ
  •  • 4 146 mots
  •  • 1 média

Dans le chapitre « Situations et modèles »  : […] Ce que l'on appelle la réalité, ou l'univers réel, ou le monde concret des phénomènes, dans lequel nous sommes plongés et dans lequel nous vivons, peut paraître simple, parce que familier sous certains de ses aspects, à l'observateur superficiel. La moindre réflexion le révèle immense, complexe, opaque et insondable. Le saisir dans sa totalité et dans toute sa profondeur est l'objet d'un souhait q […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/enseignement-des-mathematiques/#i_41514

MODÈLE

  • Écrit par 
  • Raymond BOUDON, 
  • Hubert DAMISCH, 
  • Jean GOGUEL, 
  • Sylvanie GUINAND, 
  • Bernard JAULIN, 
  • Noël MOULOUD, 
  • Jean-François RICHARD, 
  • Bernard VICTORRI
  •  • 24 440 mots
  •  • 2 médias

Dans le chapitre « L'usage des modèles »  : […] L'abstraction est une réduction et, de ce fait, permet de faire apparaître des analogies entre des situations appartenant à des domaines habituellement séparés. Aussi n'est-il pas possible, dans les limites de ce texte, de recenser les différentes types de situations qui se laissent décrire et étudier de façon mathématique : nous renverrons pour ce point le lecteur aux aspects historiques des arti […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/modele/#i_41514

SIMULATION ET DÉVELOPPEMENT (psychologie)

  • Écrit par 
  • Henri LEHALLE
  •  • 2 457 mots

Les techniques de simulation visent à reproduire par une suite de calculs les processus psychologiques et leurs manifestations expérimentales ou cliniques. On pourrait donc penser que plus la reproduction artificielle des observables est exacte, plus la simulation est réussie. Mais ce n’est pas tout à fait le cas car il faut aussi que la simulation repose sur des principes plausibles du point de v […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/simulation-et-developpement/#i_41514

TERRE BOULE DE NEIGE HYPOTHÈSE DE LA

  • Écrit par 
  • Françoise DREYER
  •  • 7 133 mots
  •  • 5 médias

Dans le chapitre « Le temps des modèles climatiques performants »  : […] Les données géologiques contradictoires et si dépendantes des lieux géographiques d’observation ne suffisent plus. L’usage de modèles climatiques est devenu indispensable. Depuis le modèle de Boudyko, bien des améliorations ont été apportées. La difficulté majeure est de contraindre les paramètres et les conditions initiales de modèles établis pour l’époque actuelle et non pour le Néoprotérozoïque […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/hypothese-de-la-terre-boule-de-neige/#i_41514

UHLENBECK KAREN (1942- )

  • Écrit par 
  • Fabrice BETHUEL
  •  • 1 283 mots
  •  • 1 média

Karen Uhlenbeck, née Karen Keskulla le 24 août 1942 à Cleveland (Ohio), est une mathématicienne américaine . Après des études à l’université du Michigan puis au Courant Institute à New-York, elle soutient en 1968 une thèse de doctorat dirigée par Richard Palais à l’université Brandeis de Waltham (Massachusetts). Elle est nommée professeure à l’université de Chicago en 1983, puis devient en 1988 p […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/karen-uhlenbeck/#i_41514

Voir aussi

Pour citer l’article

Jean-Paul DELAHAYE, « MODÉLISATION, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 08 décembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/modelisation-mathematique/