DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :

Il en résulte que :

Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse F définie par :

Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.

La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥^-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥^-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.

Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H¹(Rⁿ) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥²) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace H^s(Rⁿ) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥²)^s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à H^s, et cette restriction ap [...]