DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
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La transformation de Fourier et ses généralisations
Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :
Il en résulte que :
Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse
Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.
La dualité régularité locale-décroissance à l'infini
La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.
Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H1(Rn) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace Hs(Rn) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2)s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à Hs, et cette restriction ap [...]
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Écrit par :
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
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FREDHOLM IVAR (1866-1927)
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GREEN GEORGE (1793-1841)
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HADAMARD JACQUES (1865-1963)
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HÖRMANDER LARS (1931-2012)
Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund sous la direction de Marcel Riesz (1886-1969) et obtient son doctorat en […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lars-hormander/#i_26310
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KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)
Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les mathématiques à l'université de Heidelberg, où el […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310
LAX PETER (1926- )
Mathématicien américain d'origine hongroise, Peter Lax reçut en 2005 le prix Abel « pour ses contributions novatrices à la théorie et à l'application des équations différentielles et au calcul de leurs solutions ». Il est l'un des rares chercheurs dont les découvertes vont des bases théoriques aux applications pratiques d'un domaine des mathématiques. Peter David Lax naît le 1 […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310
LERAY JEAN (1906-1998)
Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale supérieure de 1926 à 1929. Il a enseigné à la facu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310
LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)
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LIONS PIERRE-LOUIS (1956- )
Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse de doctorat en 1979 sous la direction de Haïm Brezis au laboratoire d'ana […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310
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MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)
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ONDES GRAVITATIONNELLES
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OPTIMISATION & CONTRÔLE
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Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa retraite en 1946 ; il y a fondé un remarquable groupe […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310
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Mathématicien chinois, lauréat de la médaille Fields en 1983 pour ses travaux en géométrie différentielle. Né le 4 avril 1949 à Swatow (Chine), Shing-tung Yau fait ses études supérieures à l'université de Californie à Berkeley, où il soutient sa thèse de doctorat en 1971 sous la direction de Shiing-shu Chern. Enseignant à l'université de l'État de New York à Stony Brook de 1972 à 1974, chercheur à […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shing-tung-yau/#i_26310
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Pour citer l’article
Martin ZERNER,
« DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) -