DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
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La transformation de Fourier et ses généralisations
Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :
Il en résulte que :
Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse
Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.
La dualité régularité locale-décroissance à l'infini
La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.
Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H1(Rn) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace Hs(Rn) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2)s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à Hs, et cette restriction ap [...]
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Écrit par :
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
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CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
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CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
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DARBOUX GASTON (1842-1917)
Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences (1873-1881), puis professeur […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-darboux/#i_26310
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Dans le chapitre « Équations différentielles » : […] Les équations différentielles sont des équations dont les coefficients et les variables sont eux-mêmes des fonctions, et dont les termes contiennent les dérivées de cette fonction ainsi que la fonction elle-même. Les équations différentielles ordinaires impliquent une fonction y d'une seule variable x et ses dérivées y ', y '', etc. ; l' ordre […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26310
EULER LEONHARD (1707-1783)
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FORME
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FOURIER JOSEPH (1768-1830)
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FREDHOLM IVAR (1866-1927)
Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique ra […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_26310
GREEN GEORGE (1793-1841)
Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, principalement en lisant les mémoires de Poisson, et […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-green/#i_26310
HADAMARD JACQUES (1865-1963)
Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles » : […] Cherchant toujours à rester en contact étroit avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-hadamard/#i_26310
HILBERT DAVID (1862-1943)
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HÖRMANDER LARS (1931-2012)
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KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)
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KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)
Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310
LAX PETER (1926- )
Mathématicien américain d'origine hongroise, Peter Lax reçut en 2005 le prix Abel « pour ses contributions novatrices à la théorie et à l'application des équations différentielles et au calcul de leurs solutions ». Il est l'un des rares chercheurs dont les découvertes vont des bases théoriques aux applications pratiques d'un domaine des mathématiq […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310
LERAY JEAN (1906-1998)
Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310
LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)
Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de Paris (1949-1952). De 1952 à 1986, il a été prof […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-lichnerowicz/#i_26310
LIE SOPHUS (1842-1899)
Dans le chapitre « La théorie des groupes de Lie » : […] Sous le nom de « groupes finis et continus », Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l'espace C n des n variables complexes x 1 , ..., x n , dépendant « effectivement » de r paramètres complexes a 1 , ..., a r . Par la suite, il étudiera aussi, sous le nom de groupes infinis et continus, certains ensembles de transformations […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_26310
LIONS PIERRE-LOUIS (1956- )
Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse de doctorat en 1979 sou […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310
MÉDAILLES FIELDS 2014
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MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)
Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses étu […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cathleen-morawetz/#i_26310
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Dans le chapitre « La méthode de Picard » : […] On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux équations intégrales (cf. équations intégrales , chap. […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_26310
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WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)
Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé alors professeur à l'université d'Édimbourg, où il restera jusqu'à sa retr […] Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310
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Pour citer l’article
Martin ZERNER,
« DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) -
