DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

La transformation de Fourier et ses généralisations

Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :

où n est la dimension de l'espace (cf. distributions, chap. 4, et analyse harmonique, chap. 3).

Il en résulte que :

en d'autres termes, la transformation de Fourier transforme la dérivation partielle en produit par la variable correspondante, au facteur i près. Si P est un opérateur différentiel à coefficients constants et u et f des distributions tempérées, l'équation aux dérivées partielles (2) équivaut à :

Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse F définie par :

et le théorème de Parseval, étroitement lié au résultat précédent : F est une isométrie de L²(Rⁿ).

Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.

La dualité régularité locale-décroissance à l'infini

La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥^-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥^-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.

Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H¹(Rⁿ) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥²) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace H^s(Rⁿ) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥²)^s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à H^s, et cette restriction ap [...]

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