DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
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La transformation de Fourier et ses généralisations
Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :

Il en résulte que :


Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse

Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.
La dualité régularité locale-décroissance à l'infini
La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥-k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥-k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.
Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions de carré intégrable. Ainsi u appartient à l'espace de Sobolev H1(Rn) (cf. chap. 2 Le type elliptique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications) si et seulement si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2) dξ. Ce résultat fournit la définition la plus simple de l'espace de Sobolev d'indice réel quelconque : une fonction appartient à l'espace Hs(Rn) si sa transformée de Fourier est de carré intégrable pour la mesure (1 + ∥ξ∥2)s dξ. L'introduction d'indices non entiers est nécessaire surtout du fait que, pour s > 1/2, on sait définir la restriction à un hyperplan d'une fonction appartenant à Hs, et cette restriction ap [...]
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Écrit par :
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
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Pour citer l’article
Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 21 janvier 2021. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/