DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

La transformation de Fourier et ses généralisations

Nous emploierons les notations suivantes pour la transformation de Fourier :

où n est la dimension de l'espace (cf. distributions, chap. 4, et analyse harmonique, chap. 3).

Il en résulte que :

en d'autres termes, la transformation de Fourier transforme la dérivation partielle en produit par la variable correspondante, au facteur i près. Si P est un opérateur différentiel à coefficients constants et u et f des distributions tempérées, l'équation aux dérivées partielles (2) équivaut à :

Nous utiliserons le fait que la transformation de Fourier est inversible et a pour inverse F définie par :

et le théorème de Parseval, étroitement lié au résultat précédent : F est une isométrie de L²(Rⁿ).

Une conséquence simple de ces résultats est que la transformation de Fourier et son inverse ont exactement les mêmes propriétés.

La dualité régularité locale-décroissance à l'infini

La transformée de Fourier d'une fonction intégrable est bornée. Si une fonction a des dérivées intégrables, sa transformée de Fourier décroît donc comme 1/∥ξ∥, et si elle a des dérivées d'ordre k intégrables sa transformée de Fourier décroît à l'infini en ∥ξ∥^-^k. Inversement, si la transformée de Fourier û de u décroît à l'infini comme ∥ξ∥^-^k, u a des dérivées jusqu'à l'ordre k − n − 1 qui sont continues et bornées.

Le décalage disparaît, grâce au théorème de Parseval, si on considère les fonctions [...]

1 2 3 4 5…

pour nos abonnés,
l’article se compose de 9 pages

Écrit par :

Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice

Classification

1. Mathématiques
2. Analyse mathématique

Autres références«  DÉRIVÉES PARTIELLES ÉQUATIONS AUX  » est également traité dans :
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Analyse numériqueÉcrit par 
Claude BARDOS, 
Martin ZERNER
 • 6 000 mots
 • 11 médias
Plus peut-être que tout autre domaine des mathématiques, les équations aux dérivés partielles étaient prédisposées à bénéficier de l'utilisation des ordinateurs , pour de nombreuses raisons. La plus importante est leur intervention dans de nombreux problèmes techniques. C'est d'ailleurs un problème d'hydrodynamique, dont la solution devait […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-analyse-numerique/
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Équations non linéairesÉcrit par 
Claude BARDOS
 • 10 861 mots
 • 4 médias
L'étude des équations aux dérivées partielles non linéaires se trouve à l'interface de nombreux problèmes scientifiques. En effet, la plupart des phénomènes de la physique ou des sciences de l'ingénieur sont non linéaires et une modélisation par des équations linéaires risque, dans certains cas, d'effacer des […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-equations-non-lineaires/
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX)  - Sources et applicationsÉcrit par 
Martin ZERNER
 • 6 319 mots
 • 2 médias
On se propose de décrire très sommairement quelques types classiques d'équations aux dérivées partielles issues principalement de la physique et de préciser leurs interventions dans des domaines variés des mathématiques.   Alors que les solutions des équations différentielles ordinaires dépendent d'une ou de plusieurs constantes arbitraires, […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-sources-et-applications/
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES (notions de base)Écrit par 
Yves GAUTIER
 • 1 580 mots
 • 2 médias
Beaucoup de phénomènes peuvent être décrits par une fonction. Par exemple, le déplacement d’un mobile dans l’espace peut être défini par une fonction f(x, y, z) où les coordonnées x, y et z correspondent à […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-aux-derivees-partielles-notions-de-base/
ANALYSE MATHÉMATIQUEÉcrit par 
Jean DIEUDONNÉ
 • 8 744 mots

					    Dans le chapitre « Équations différentielles et équations aux dérivées partielles »
					 : […]
			        de problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations aux dérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/analyse-mathematique/#i_26310
CALCUL INFINITÉSIMAL - HistoireÉcrit par 
René TATON
 • 11 509 mots
 • 3 médias

					    Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »
					 : […]
			        En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart des phénomènes physiques dépendent de plusieurs […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/calcul-infinitesimal-histoire/#i_26310
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)Écrit par 
Jean DIEUDONNÉ
 • 1 403 mots

					    Dans le chapitre « Une production considérable »
					 : […]
			        est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait compris très tôt l'importance de la transformation de Fourier (que ce dernier et Poisson n' […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/augustin-louis-cauchy/#i_26310
DARBOUX GASTON (1842-1917)Écrit par 
Jacques MEYER
 • 320 mots
Mathématicien français, né à Nîmes et mort à Paris. Après des études à l'École normale supérieure, Darboux fut l'assistant de J. Bertrand à la chaire de physique mathématique au Collège de France (1866-1867), puis enseigna au lycée Louis-le-Grand (1867-1872) et à l'École normale (1872-1873). Il fut maître de conférences ( […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/gaston-darboux/#i_26310
ÉQUATION, mathématiqueÉcrit par 
Gilles LACHAUD
 • 1 488 mots

					    Dans le chapitre « Équations différentielles »
					 : […]
			        Dans une équation aux dérivées partielles, les inconnues sont des fonctions de plusieurs variables, et l'équation comprend la fonction f et ses dérivées partielles ∂f /∂x, etc. Le Laplacien Δf d'une fonction est la somme de ses […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/equation-mathematique/#i_26310
EULER LEONHARD (1707-1783)Écrit par 
Christian HOUZEL, 
Jean ITARD
 • 2 813 mots

					    Dans le chapitre « Mathématiques »
					 : […]
			        par une série entière, la résolution de nombreuses équations différentielles ou aux dérivées partielles par la méthode du facteur intégrant et les équations du calcul des variations. Comme d'Alembert l'avait reconnu à propos des cordes vibrantes en 1747, l'intégration d'une équation aux dérivées partielles fait intervenir […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/leonhard-euler/#i_26310
FORMEÉcrit par 
Jean PETITOT
 • 27 547 mots

					    Dans le chapitre « Caustiques et optique écologique »
					 : […]
			        ainsi bien apparaître le lien entre optique géométrique et optique ondulatoire. C'est celui qu'on trouve en général dans les équations aux dérivées partielles hyperboliques ; l'existence d'une infrastructure hamiltonienne (bicaractéristiques, caractéristiques, etc.). À l'opérateur D est associé l'hamiltonien H(q, p) = 1 − | p | […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/forme/#i_26310
FOURIER JOSEPH (1768-1830)Écrit par 
Louis CHARBONNEAU
 • 1 865 mots

					    Dans le chapitre « L'œuvre mathématique »
					 : […]
			        de la propagation de la chaleur dans un solide. Sur le plan purement mathématique, les résultats sont de deux ordres : d'une part, la résolution des équations aux dérivées partielles en attribuant aux conditions aux bornes l'importance qui leur revient, d'autre part, la représentation d'une « fonction arbitraire » par une série trigonométrique […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/joseph-fourier/#i_26310
FREDHOLM IVAR (1866-1927)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 320 mots
Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ivar-fredholm/#i_26310
GREEN GEORGE (1793-1841)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 312 mots
Mathématicien anglais, né et mort à Sneinton (près de Nottingham). George Green, à travers sa recherche d'une formulation mathématique de la théorie de l'électricité statique et du magnétisme, est le créateur de la théorie du potentiel. Boulanger de son métier, il s'initia seul aux mathématiques, […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/george-green/#i_26310
HADAMARD JACQUES (1865-1963)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 1 395 mots

					    Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »
					 : […]
			        avec l'« intuition physique », Hadamard a consacré un grand nombre de publications aux équations aux dérivées partielles et s'est toujours intéressé à ce sujet. On lui doit tout d'abord la notion de « problème correctement posé ». Amené à l'introduire par une réflexion sur la signification physique de nombreux problèmes aux limites, il impose aux […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jacques-hadamard/#i_26310
HILBERT DAVID (1862-1943)Écrit par 
Rüdiger INHETVEEN, 
Jean-Michel KANTOR, 
Christian THIEL
 • 14 855 mots
 • 1 média

					    Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23 »
					 : […]
			        à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux dérivées partielles) non linéaires de type polynomial. Cet exemple est beaucoup plus restreint (comme des résultats de Hölder le montraient déjà), mais Hilbert semble avoir pressenti que ces fonctions pourraient être […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/david-hilbert/#i_26310
HÖRMANDER LARS (1931-2012)Écrit par 
Bernard PIRE
 • 243 mots
Mathématicien suédois, lauréat de la médaille Fields en 1962 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 24 janvier1931 à Mjällby (Suède), Lars Hörmander est le fils de l'instituteur d'un petit village de pêcheurs de la côte sud suédoise. Il fait ses études supérieures à l'université de Lund […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/lars-hormander/#i_26310
KOLMOGOROV ANDREÏ NIKOLAÏEVITCH (1903-1987)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 1 416 mots
 • 1 média

					    Dans le chapitre « Mathématiques appliquées »
					 : […]
			        Kolmogorov a consacré de nombreuses publications aux équations aux dérivées partielles de la physique. Les équations de Navier-Stockes étaient le prototype des équations qui interviennent dans l'étude de la réaction-diffusion, la turbulence et la mécanique statistique […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andrei-nikolaievitch-kolmogorov/#i_26310
KOVALEVSKAÏA SOFIA VASSILIEVNA (1850-1891)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 261 mots
Femme de lettres et mathématicienne russe, née à Moscou et morte à Stockholm. Le nom de Kovalevskaïa reste attaché à la théorie des équations aux dérivées partielles. Issue d'un milieu aristocratique et riche (elle était fille d'un général d'artillerie), Sofia Vassilievna épousa, en 1868, un jeune paléontologiste, V. Kovalewski, et alla étudier les […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sofia-vassilievna-kovalevskaia/#i_26310
LAX PETER (1926-    )Écrit par 
Jeremy John GRAY
, Universalis
 • 657 mots
Les équations aux dérivées partielles sont l'une des manières fondamentales par lesquelles mathématiciens et scientifiques décrivent des phénomènes naturels et mathématiques qui dépendent de plusieurs variables. Dans l'étude des équations aux dérivées partielles hyperboliques, Lax montre qu'il existe de nombreux types d'équations qui admettent des […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/peter-lax/#i_26310
LERAY JEAN (1906-1998)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 417 mots
Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/jean-leray/#i_26310
LICHNEROWICZ ANDRÉ (1915-1998)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 597 mots
Mathématicien français dont les travaux portent sur la géométrie différentielle, la mécanique et la physique mathématique. Né le 21 janvier 1915 à Bourbon-L'Archambault (Allier), élève de l'École normale supérieure, André Lichnerowicz a enseigné dans les universités de Strasbourg (1941-1949), puis de […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/andre-lichnerowicz/#i_26310
LIE SOPHUS (1842-1899)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 1 333 mots

					    Dans le chapitre « La théorie des groupes de Lie »
					 : […]
			        Le premier théorème affirme que, sous l'hypothèse que les paramètres sont « effectifs », les fonctions fi de (1) vérifient une équation aux dérivées partielles :où la matrice (ξki) est de rang maximal et det (Ψij) ≠ 0. Réciproquement, si les fonctions fi […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/sophus-lie/#i_26310
LIONS PIERRE-LOUIS (1956-    )Écrit par 
Bernard PIRE
 • 417 mots
Mathématicien français, lauréat de la médaille Fields en 1994 pour ses travaux dans le domaine des équations aux dérivées partielles. Né le 11 août 1956 à Grasse (Alpes-Maritimes), fils du mathématicien Jacques-Louis Lions (1928-2001), Pierre-Louis Lions est élève à l'École normale supérieure de Paris, puis soutient sa thèse […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/pierre-louis-lions/#i_26310
MÉDAILLES FIELDS 2014Écrit par 
Bernard PIRE
 • 1 046 mots
 • 1 média
à l’université de Genève sous la direction du physicien théoricien Jean-Pierre Eckmann. Dès son travail de thèse sur le comportement asymptotique des équations aux dérivées partielles (EDP) stochastiques, il s’intéresse à l’influence du bruit sur les solutions de ces équations qui gouvernent de nombreux phénomènes physiques. Enseignant à l’ […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/medailles-fields-2014/#i_26310
MORAWETZ CATHLEEN (1923-2017)Écrit par 
Bernard PIRE
 • 432 mots
Mathématicienne américaine d'origine irlandaise, spécialiste des équations aux dérivées partielles. Cathleen Morawetz, née Synge, est la fille du mathématicien irlandais John Lighton Synge (1897-1995). Née le 5 mai 1923 à Toronto où son père enseignait, elle passe son enfance à Dublin avant de retourner à Toronto en 1930. Elle y fait toutes ses […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/cathleen-morawetz/#i_26310
ONDES GRAVITATIONNELLESÉcrit par 
Bernard PIRE
 • 5 715 mots
 • 6 médias

					    Dans le chapitre « Équations d’Einstein et solutions »
					 : […]
			        Les équations d’Einstein sont des équations aux dérivées partielles qui relient le tenseur énergie-impulsion Tµν d’un système à une quantité, appelée « tenseur de Ricci », qui caractérise la géométrie de l’espace-temps qui l’environne en décrivant mathématiquement la façon dont cet espace-temps est courbe […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/ondes-gravitationnelles/#i_26310
OPTIMISATION & CONTRÔLEÉcrit par 
Ivar EKELAND
 • 5 244 mots
 • 2 médias

					    Dans le chapitre « Équations aux dérivées partielles »
					 : […]
			        Soit Ω un ouvert borné de Rn. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → RN prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale : […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/optimisation-et-controle/#i_26310
PHYSIQUE - Physique et informatiqueÉcrit par 
Claude ROIESNEL
 • 6 728 mots

					    Dans le chapitre « Méthode des éléments finis »
					 : […]
			        Il existe en physique mathématique trois grandes classes d'équations aux dérivées partielles, illustrées chacune par un type de phénomène bien particulier. Il y a les équations de type elliptique, qui apparaissent dans les études de régime stationnaire en électricité, en mécanique ou en thermique. Les équations de type […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/physique-physique-et-informatique/#i_26310
PICARD ÉMILE (1856-1941)Écrit par 
Michel HERVÉ
 • 1 907 mots

					    Dans le chapitre « La méthode de Picard »
					 : […]
			        On appelle souvent méthode de Picard la méthode des approximations successives, dont les applications sont nombreuses : aux équations aux dérivées partielles (dans le Journal de Liouville de 1890) ; aux équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux  […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/emile-picard/#i_26310
POINCARÉ HENRI (1854-1912)Écrit par 
Gérard BESSON, 
Christian HOUZEL, 
Michel PATY
 • 6 144 mots
 • 2 médias

					    Dans le chapitre « Physique mathématique et physique théorique »
					 : […]
			        à la physique mathématique, en raison du lien de ces équations, en particulier des équations aux dérivées partielles du second ordre, dont la plus simple est celle de Laplace, Δu = 0, avec les lois des phénomènes physiques les plus divers. La distribution électrique, le magnétisme, l'hydrodynamique, les équations de vibration […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/henri-poincare/#i_26310
THÉORIE ANALYTIQUE DE LA CHALEUR (J. Fourier)Écrit par 
Bernard PIRE
 • 194 mots
Les travaux de Joseph Fourier (1768-1830) sur la propagation de la chaleur, entrepris dès 1804 alors qu'il occupait le poste de préfet de l'Isère, présentés en 1811 dans un mémoire à l'Académie des sciences et rassemblés en 1822 dans le livre Théorie analytique de la chaleur, ont […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/theorie-analytique-de-la-chaleur/#i_26310
WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)Écrit par 
Jeanne PEIFFER
 • 804 mots
Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/heinrich-martin-weber/#i_26310
WHITTAKER sir EDMUND (1873-1956)Écrit par 
Jean-Luc VERLEY
 • 294 mots
Mathématicien anglais dont les travaux portent principalement sur les équations différentielles et aux dérivées partielles et sur leurs applications à la physique mathématique et à l'astronomie. De 1906 à 1912, Whittaker fut Royal Astronomer of Ireland à Dublin. Il fut nommé […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/whittaker-sir-edmund/#i_26310
YAU SHING-TUNG (1949-    )Écrit par 
Bernard PIRE
 • 277 mots
Les travaux de Yau concernent la géométrie différentielle globale et les équations aux dérivées partielles elliptiques. Il a en particulier résolu en 1976 la célèbre conjecture d'Eugenio Calabi, formulée en 1954, prouvant l'existence d'une certaine métrique dans une variété compacte kählerienne. Le problème analytique revient à prouver l'existence […]
				    Lire la suite☛ http://www.universalis.fr/encyclopedie/shing-tung-yau/#i_26310

Voir aussi

OPÉRATEURS INTÉGRAUX DE FOURIER TRANSFORMATION DE FOURIER ÉQUATION DE HELMHOLTZ TYPE HYPERBOLIQUE ÉQUATION DES ONDES OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL OPÉRATEUR HYPOELLIPTIQUE THÉORÈME DE PLANCHEREL OPÉRATEUR PSEUDO-DIFFÉRENTIEL ESPACE DE SOBOLEV SOLUTION ÉLÉMENTAIRE

Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 06 octobre 2018. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/

RECHERCHE DEPUIS LA BARRE DE RECHERCHE
Recherche par mot clé	Choisissez un mot qui résume une idée et saisissez-le dans la barre de requête. Pour vous aider, une liste de mots clés vous est suggérée dès trois caractères saisis.
Recherche avancée	Utilisez-la afin de préciser votre recherche. Elle permet de faire une requête avec plusieurs mots clés que vous pouvez associer à des opérateurs.
Recherche par auteur	Consultez l’encyclopédie à partir de la signature de ses contributeurs.
RECHERCHE DANS LA CLASSIFICATION
	Dans la barre du menu principal, cliquez sur CLASSIFICATION. Sélectionnez successivement un thème puis des sous-thèmes et faites apparaître rapidement une liste d’articles et de médias.
CARTE MENTALE
	Élargissez votre recherche. Disponible au début de chaque article, cet outil affiche les articles Universalis en lien avec le sujet.

Dictionnaire		Double-cliquez sur n’importe quel mot pour afficher sa définition.
Mes favoris		Sauvegardez les documents de votre choix en cliquant sur l’étoile . Retrouvez-les ensuite dans votre espace personnel Mon Universalis. Disponible uniquement pour les utilisateurs ayant un accès personnalisé.
Ma session		Avant de quitter le site, pensez à exporter votre historique de navigation. Retrouvez-le dans l’espace Mon Universalis. Accessible à tous les utilisateurs pour chaque session.
Sommaire		Situé en bas à droite de la fenêtre, ce bouton permet l'affichage du sommaire au fil de la lecture.
Recherche par occurrences	`Ctrl`+`f` `cmd ⌘`+`f` +`f`	Retrouvez une chaîne de caractères dans l'article consulté en utilisant le raccourci clavier puis en saisissant le texte dans la zone de recherche.

Carte mentale

La transformation de Fourier et ses généralisations

La dualité régularité locale-décroissance à l'infini

Classification

Autres références

Voir aussi

Pour citer l’article