DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire

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Solutions élémentaires et paramétrix

On dit qu'une distribution de deux variables E est un noyau élémentaire de P si elle vérifie la relation :

qui entraîne, du moins pour f à support compact, que la distribution :
vérifie l'équation (2), d'où la précision noyau élémentaire à droite qu'il est prudent d'apporter, sauf, comme nous le verrons, dans le cas des équations à coefficients constants.

Nous avons déjà rencontré un tel noyau (cf. chap. 3 L'équation de la chaleur et le type parabolique in équations aux dérivées partielles - Sources et applications, à propos du mouvement brownien). En effet les formules (20) et (21) de cet article montrent que le noyau :

où θ() = 1 pour t positif et 0 sinon, est un noyau élémentaire pour l'opérateur de la chaleur ∂/(∂t) − Δx.

Le plus ancien exemple de noyau élémentaire connu est sans aucun doute celui du potentiel coulombien − 1/4π∥y − z∥, noyau élémentaire de l'opérateur de Laplace en dimension 3.

Opérateurs à coefficients constants et convolution

Un opérateur différentiel à coefficients constants est un opérateur de convolution puisqu'il commute avec les translations. Plus précisément :

Les noyaux élémentaires les plus commodes s'écrivent alors eux aussi comme noyaux de convolution E(y − z), où E, qui ne dépend plus que d'une variable dans Rn+1, est une solution élémentaire, c'est-à-dire qu'elle vérifie :

L'utilisation systématique de ce point de vue est un des traits caractéristiques du développement qu'a connu l'étude des équations aux dérivées partielles dans les années 1950 sous l'impulsion de la théorie des distributions. En particulier, Malgrange a démontré en 1953 que tout opérateur différentiel à coefficients constants non nul avait une solution élémentaire.

Solution élémentaire et hypoellipticité

Si P est un opérateur à coefficients constants hypoelliptique, ses solutions élémentaires doivent évidemment être indéfiniment différentiables en dehors de l'origine. Mais la réciproque est aussi vraie comme on va le voir. Il faut savoir que si T est une distribution indéfiniment différentiable en dehors de l'origine, alors, pour tout [...]


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Pour citer l’article

Martin ZERNER, « DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 28 septembre 2020. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/derivees-partielles-equations-aux-theorie-lineaire/