DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) Théorie linéaire
Problèmes de régularité
On a déjà signalé que si P est un opérateur elliptique à coefficients analytiques et u une distribution vérifiant l'équation (2), u est analytique sur tout ouvert où f l'est. De plus, cette propriété caractérise les opérateurs elliptiques.
On dit que l'opérateur P est hypoelliptique si toute u vérifiant (2) est indéfiniment différentiable sur tout ouvert où le second membre f est indéfiniment différentiable.
Dans sa thèse, Hörmander a donné la caractérisation suivante des opérateurs hypoelliptiques à coefficients constants :
Pour tout α différent de 0 on a :
Pour les opérateurs à coefficients variables (indéfiniment différentiables), on ne connaît que des conditions suffisantes d'hypoellipticité. Une de ces conditions s'exprime sur les opérateurs « à coefficients gelés », c'est-à-dire les opérateurs à coefficients constants obtenus, pour chaque point y, en remplaçant les coefficients variables b par leur valeur b(y) désormais fixée. La condition est que chacun de ces opérateurs soit hypoelliptique et qu'ils aient tous le même domaine dans L2. Une faiblesse de cette condition (obtenue à peu près simultanément par Hörmander et Malgrange) est qu'elle n'est pas conservée par les changements de coordonnées, comme le montre l'exemple de l 'équation de la chaleur.
Par la suite, Hörmander a étudié les opérateurs de la forme :
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Écrit par
- Martin ZERNER : professeur à l'université de Nice
Classification
Pour citer cet article
Martin ZERNER. DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Autres références
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ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 527 mots
...problèmes de mécanique, d'astronomie ou de physique. Au cours du xviiie siècle, les développements des applications des mathématiques à la physique avaient introduit des équations auxdérivées partielles, qui apparaissent aussi par ailleurs dans les problèmes de la naissante théorie des surfaces. -
CAFFARELLI LUIS (1948- )
- Écrit par Bernard PIRE
- 1 254 mots
- 1 média
Le mathématicien argentino-américain Luis Caffarelli a reçu le prix Abel – l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiques – en 2023, pour « ses contributions essentielles à la théorie des régularités des équations aux dérivées partielles non linéaires ».
-
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire
- Écrit par René TATON
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En 1747, à l'occasion d'une étude sur le problème des vents, d'Alembert introduisit et étudia des équations d'un type nouveau, les équations aux dérivées partielles, faisant intervenir simultanément les dérivées partielles d'une même fonction par rapport à différentes variables. Le fait que la plupart... -
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
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...pures et appliquées. Si son œuvre en astronomie et en optique est secondaire, il est un des fondateurs de la théorie mathématique de l'élasticité. En analyse, il introduit la notion fondamentale de caractéristique dans la théorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre, et il avait... - Afficher les 34 références
Voir aussi
- CONVOLUTION PRODUIT DE
- ÉQUATION LINÉAIRE
- DIRICHLET PROBLÈME DE
- FOURIER TRANSFORMATION DE
- GÉODÉSIQUES
- NOYAU, analyse mathématique
- HELMHOLTZ ÉQUATION DE
- CARACTÉRISTIQUES COURBES ou SURFACES
- CAUCHY PROBLÈME DE
- OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL
- GREEN NOYAU DE
- PSEUDO-DIFFÉRENTIEL OPÉRATEUR
- VECTEURS CHAMP DE
- GRADIENT
- VALEUR PROPRE
- COURBES BICARACTÉRISTIQUES
- CAUCHY-KOWALEVSKI THÉORÈME DE
- HYPERBOLIQUE TYPE
- ELLIPTIQUE TYPE
- HOLMGREN THÉORÈME DE
- OPÉRATEUR HYPOELLIPTIQUE
- FOURIER OPÉRATEURS INTÉGRAUX DE
- ONDES ÉQUATION DES
- PARABOLIQUE TYPE
- PLANCHEREL THÉORÈME DE
- SOBOLEV ESPACE DE
- SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
