FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Jamais dans aucune science la recherche de fondements – ou de fondations – n'a été aussi approfondie qu'en mathématiques. Les méthodes proposées sont nombreuses et le débat qui est né de ces diverses propositions (voir les articles liés) semble sans fin et ne pas progresser vers une solution unique pouvant recueillir un soutien unanime (alors que les mathématiques, elles, avancent à grands pas et sans controverse). Dans ces conditions, l'importance des problèmes de fondements, qui paraissait évidente, a été mise en doute dans la seconde moitié du xx^e siècle.

Une position commune à de nombreux mathématiciens et théorisée par quelques chercheurs mathématiciens ou philosophes, dont Hilary Putnam (né en 1926) et Thomas Tymoczko (1943-1996), consiste à affirmer que les mathématiques se passent très bien de fondements et qu'il faut s'en moquer. Jean Dieudonné (1906-1992) – ancien membre du groupe Bourbaki – indiquait par exemple que la position des mathématiciens vis-à-vis des problèmes de fondements « est décrite au mieux comme une indifférence totale ». Le diagnostic est confirmé par Frédéric Patras : « La postérité de Bourbaki et des écoles de l'après-guerre est encore essentiellement indifférente à toutes les questions de fondements, car c'est une attitude qui lui a été méthodiquement enseignée (en tout cas en France). » Plus étonnant, certains logiciens proclament une indifférence vis-à-vis du problème des fondements. Un antifondationnalisme au quotidien, et revendiqué avec vigueur, semble devenu commun en mathématiques.

Il apparaît cependant qu'une confusion est faite entre deux formes de fondationnalisme (et donc deux formes d'antifondationnalisme). Le premier, le fondationnalisme au sens fort, défend l'idée que les mathématiques doivent être construites d'une manière hiérarchisée sur un socle – aussi petit que possible – qui justifie et assure le reste de l'édifice, et cherche dans une réduction des concepts de base (objets, axiomes, etc.) à limiter le plus possible le risque d'effondrement de la construction géné […]