GÖDEL KURT (1906-1978)

Issue de la pensée de Boole, de Cantor et de Frege au cours de la seconde moitié du xix^e siècle, la logique mathématique connaît ses premiers développements grâce à Hilbert et à Russel et Whitehead (premier quart du xx^e siècle). Mais c'est à Kurt Gödel plus qu'à tout autre qu'elle doit de prendre rang, en l'espace d'une décennie (les années trente), parmi les sciences mathématiques modernes. Gödel n'a pas seulement résolu certains des principaux problèmes soulevés par la logique mathématique à ses débuts, jetant ainsi sur l'ensemble des mathématiques une lumière toute nouvelle ; il a également fourni à sa discipline un corpus de concepts, de méthodes et de résultats dont elle tire à ce jour une bonne part de sa substance.

1. Mathématiques et philosophie

Gödel […]

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GÖDEL : THÉORÈMES D'INCOMPLÉTUDE: Auteur : Bernard PIRE
Deux ans après avoir soutenu sa thèse de doctorat à l'université de Vienne, le jeune mathématicien autrichien Kurt Gödel (1906-1978) prouve que, dans tout système mathématique axiomatique, il existe des propositions dont on ne peut démontrer ni la véracité ni la fausseté. En particulier, il est impossible de prouver que les axiomes fondant ce… Lire la suite
CONTINU HYPOTHÈSE DU: Auteur : Patrick DEHORNOY
Dans le chapitre "Une affaire terminée ?" : … sa négation ¬HC, est prouvable à partir de ZFC. Les réponses constituent deux résultats majeurs : *Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC. Théorème de Cohen (1963) : Si ZFC est non contradictoire, alors HC n'est pas prouvable à partir de ZFC. Il serait toutefois… Lire la suite
DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA: Auteur : Jean-Yves GIRARD
Dans le chapitre "Le programme de Hilbert" : … un pouvoir d'attraction qui persiste même après leur échec patent ; la réfutation de Hilbert par *Gödel ne nous propose en aucune manière une vision de même nature : Gödel a détruit l'espoir de donner une réponse claire et nette à certaines interrogations essentielles, mais il n'a pas donné les bases d'un nouveau credo. Les mathématiques… Lire la suite
ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique: Auteur : Jacques STERN
Dans le chapitre "Les cardinaux et l'axiome du choix" : … : si une relation binaire est telle que tout élément de son domaine est lié au moins à un autre, il existe une suite d'éléments chacun lié au suivant. Les travaux de *Gödel et de Cohen ont montré l'indépendance de l'axiome du choix, mais ont aussi permis de hiérarchiser diverses conséquences de cet axiome ; cette question sera reprise au chapitre 6… Lire la suite
FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique: Auteur : Jacques-Paul DUBUCS
Dans le chapitre "Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel" : … faux) devrait pouvoir être prouvé (respectivement réfuté) par des méthodes finitistes. *Les résultats d'incomplétude obtenus par Kurt Gödel (1906-1978) en 1931 ont précisément montré que ce n'était pas le cas. En particulier, l'arithmétique de Giuseppe Peano (1858-1932), qui contient présumablement la totalité des méthodes finitistes de… Lire la suite
FORMALISME: Auteurs : Étienne BALIBAR, Pierre MACHEREY
Dans le chapitre "Logique et mathématique" : … les théorèmes dits de « limitation » des systèmes formels. Le plus célèbre est le théorème de *Gödel (1931) énonçant l'incomplétude de l'arithmétique formalisée, c'est-à-dire la possibilité de construire une interprétation du système formel dans laquelle figure une proposition vraie qui est représentée dans le système par une expression… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943): Auteurs : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
Dans le chapitre "Programme de Hilbert et théorie de la démonstration" : … plus faibles (c'est-à-dire plus pauvres en hypothèses) que ceux du système axiomatique. Comme K. *Gödel a démontré, en 1931, que cette exigence n'est pas remplie dans le cas de l'arithmétique et de ses extensions, le programme de Hilbert s'est révélé irréalisable dans sa formulation et ses données originelles. Cela ne démontrait pas pour autant… Lire la suite
LOGIQUE MATHÉMATIQUE: Auteurs : Daniel ANDLER, Roger MARTIN
Dans le chapitre "Adolescence : 1908-1931" : … qui connaissait pourtant les travaux de Skolem, ne se fiait précisément qu'à la syntaxe. Ce fut *Gödel qui, dans sa thèse de 1930, démontra la complétude et la compacité du calcul des prédicats. L'année suivante, il publiait ses fameux théorèmes d'incomplétude (formulés, soit dit en passant, dans le cadre formel des Principia Mathematica… Lire la suite
LOGIQUES NON CLASSIQUES: Auteurs : Jacques-Paul DUBUCS, E.U.
Dans le chapitre "Les systèmes de logique modale" : … dans l'élaboration et la mise en œuvre de ces systèmes par un bref article (une page !) de 1933, où *Gödel montre que le calcul propositionnel intuitionniste peut être interprété dans S4 : – Gödel y interprète l'opérateur modal □ comme un prédicat de « prouvabilité ». Cette lecture des opérateurs modaux en termes métamathématiques a… Lire la suite
MATHÉMATIQUES FONDEMENTS DES: Auteur : Jean Toussaint DESANTI
Dans le chapitre "L'axiome du choix" : … aujourd'hui dénouée. D'une part, en 1938, Kurt Gödel a démontré que, si la théorie des ensembles est cohérente *sans l'axiome du choix ni l'hypothèse du continu, elle le demeure lorsqu'on adjoint ces deux énoncés au nombre de ses thèses initiales. De plus, en 1963, Paul J. Cohen a produit, pour l'axiome du choix et pour l'hypothèse du continu, une… Lire la suite
MODALITÉS, logique: Auteur : Pascal ENGEL
… du système dans lequel cette proposition peut être assertée. Mais, selon cette analyse suggérée par *Gödel dans les années 1930, on ne peut, en raison de la non-démontrabilité de la non-contradiction de l'arithmétique élémentaire, asserter la loi modale usuelle « Nécessairement (si nécessairement p, alors p) ». Si on écarte cette… Lire la suite
QUASI-EMPIRISME, mathématique: Auteur : Jean-Paul DELAHAYE
Dans le chapitre "Aspects expérimentaux de l'activité mathématique" : … n est approximativement n/log(n), affirmation qui ne fut prouvée que bien plus tard. *Kurt Gödel (1906-1978), cohérent avec ses positions réalistes, remarquait que « si les mathématiques décrivent un monde objectif, comme le fait la physique, il n'y a aucune raison pour que la méthode inductive ne puisse être appliquée en… Lire la suite
RÉALISME, mathématique: Auteur : Hourya BENIS-SINACEUR
Dans le chapitre "La réalité idéelle des concepts" : … procédures infinies, est ou vraie ou fausse, de toute éternité et indépendamment de toute preuve. *Ainsi, pour Kurt Gödel (1906-1978), l'hypothèse du continu de Cantor (selon laquelle la puissance du continu est la plus petite des puissances ou cardinaux non dénombrables) doit avoir une valeur de vérité. Et son indécidabilité à partir des… Lire la suite
RÉCURSIVITÉ, logique mathématique: Auteurs : Kenneth Mc ALOON, Bernard JAULIN, Jean-Pierre RESSAYRE
Dans le chapitre "Définitions des fonctions récursives" : … conduiront à la définition arithmétique des fonctions récursives introduite simultanément par K. *Gödel et J. Herbrand en 1931. a) La substitution Sn^m est une application : définie par : où, pour tout x ∈ Nⁿ, b) La … Lire la suite

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