« Modèle » est un terme qui appartient au vocabulaire de la plupart des sciences et qui a des significations multiples. Ainsi, dans les sciences humaines, on entend généralement par modèle une théorie conçue pour expliquer un ensemble de phénomènes, alors qu'en logique mathématique on parle des modèles d'une théorie. Dans ce qui suit, il s'agira exclusivement des modèles et de la théorie des modèles de la logique mathématique. Toute étude des structures mathématiques dans laquelle les questions de langage interviennent de façon essentielle fait partie de la théorie des modèles, qui peut être considérée comme fille de la logique et de l'algèbre universelle.
Les racines de la théorie des modèles plongent dans l'enfance de la logique mathématique, puisque, dès 1915, Löwenheim donnait une formulation rudimentaire d'un des résultats fondamentaux du sujet, connu aujourd'hui comme le théorème de Löwenheim-Skolem.
Le mathématicien Thoralf Skolem découvre dès les années 1920-1934 plusieurs des idées fondamentales de la théorie, dont il est une manière de pionnier. Mais cette théorie ne sort vraiment des limbes que vers les années 1945-1950, grâce à A. Tarski (dont le séminair […]
Autres références
« MODÈLES THÉORIE DES » est également traité dans :
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COHEN PAUL JOSEPH (1934-2007)
Auteur :
Gabriel SABBAGH
*Mathématicien et logicien américain, Paul Joseph Cohen est né le 2 avril 1934 à Long Branch (New Jersey) et mort le 23 mars 2007 à Stanford (Californie). En 1963, Cohen a découvert une nouvelle construction de modèles, appelée forcing, qui joue désormais un rôle fondamental dans la théorie des ensembles et dans la théorie des modèles ; et il a…
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CONTINU & DISCRET
Auteur :
Jean-Michel SALANSKIS
Dans le chapitre "Continu et théorie des fondements" : …
que les axiomes de la théorie des ensembles soient non contradictoires, c'est-à-dire qu'il existe *un modèle de cette théorie (un univers de Zermelo-Fraenkel), on peut construire un nouveau « modèle » où l'on est sûr qu'aucun infini ne se situe entre le dénombrable et le continu, et tout aussi bien un modèle où l'on est sûr du contraire. D'une…
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DÉMONSTRATION THÉORIE DE LA
Auteur :
Jean-Yves GIRARD
Dans le chapitre "La logique Π12" : …
et où la relation ≤ distinguée entre objets de type Ω est interprétée par l'ordre de α (B-*modèles). Une réponse simple est donnée par : pour tout α, nous avons une démonstration au moyen de la α-règle, qui est l'analogue de la ω-règle, obtenu en remplaçant ω par α. Cela dit, une famille (Pα) de α-démonstrations indexées par…
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ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie axiomatique
Auteur :
Jacques STERN
Dans le chapitre "Les limites de ZF" : …
que Z. Nous adoptons désormais le point de vue pluraliste. La considération simultanée de plusieurs *modèles à laquelle nous sommes conduits ne rompt pas l'unité des développements élémentaires de la théorie des ensembles, ni du reste celle des mathématiques. En effet, les constructions des ordinaux, des cardinaux, des nombres réels, etc. sont…
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FORME
Auteur :
Jean PETITOT
Dans le chapitre "Perturbations singulières" : …
s'agit donc, dans ces modèles, d'adjoindre à la dynamique interne une dynamique « externe » lente. *Depuis l'usage fait par Christopher Zeeman d'un tel système dynamique contraint pour la modélisation – désormais classique – de l'influx nerveux, de nombreux modèles de ce genre ont été analysés (théorie des perturbations singulières). Ils peuvent…
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Bibliographie
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C. C. Chang & H. J. Keisler, Model Theory, Elsevier Science, New York, 3e éd. 1990
G. Cherlin, Model-Theoretic Algebra, Springer, Berlin-New York, 1976
D. Lascar, Stability in Model Theory, Cambridge Univ. Press, 1987
D. Lascar & R. Cori, Logique mathématique, t. II : Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles, Masson, Paris, 1993
A. I. Malcev, Algebraic Systems, Springer, 1977
M. Morley dir., Studies in Model Theory, Math. Ass. of America, Buffalo (N.Y.), 1973
B. Poizat, Cours de théorie des modèles : une introduction à la logique mathématique contemporaine, B. Poizat, Villeurbanne, 1985
A. Robinson, Complete Theories, Elsevier, 2e éd. 1977
S. Shelah, Classification Theory and the Number of Nonisomorphic Models, North Holland, Amsterdam, 1978.
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