L'hypothèse du continu est la plus ancienne et l'une des plus fondamentales des questions ouvertes en théorie des ensembles. Les résultats de W. Hugh Woodin constituent une avancée décisive : sans clore la question, ils renouvellent profondément le cadre conceptuel et, pour la première fois, offrent une perspective réaliste de dépasser les limitations établies par Gödel et Cohen et de trancher le statut de cette hypothèse, en l'occurrence dans le sens de sa fausseté.
1. Une affaire terminée ?
Cantor a fondé la théorie des ensembles à la fin du xixe siècle en montrant qu'il existe plus de nombres réels que d'entiers, et donc des infinis de tailles différentes. Le problème du continu est la question : toute partie infinie de ℝ est-elle en bijection avec ℕ ou ℝ ?
Même si l'intuition suggère que ℕ est beaucoup plus petit que ℝ, il est difficile de construire un ensemble de taille intermédiaire entre celles de ℕ et ℝ : ainsi, les nombres rationnels sont en bijection avec ℕ, et les nombres transcendants (qui ne sont solutions d'aucune équation à coefficients entiers) avec ℝ. Formulée vers 1890 par Cantor, qui lui consacra en vain la fin de sa vie scientifique, l'hypothèse du continu (HC) est la conjecture que le problème du continu a une réponse positive.
Premier de la célèbre liste des vingt-trois problèmes de Hilbert en 1900, celui du continu a suscité de multiples recherches. Une fois réuni un consensus sur le système d'axiomes de théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel ZF, ou ZFC lorsque l'axiome du choix est inclus, comme base axiomatique, la première question est de savoir si HC, ou sa négation ¬HC, est prouvable à partir de ZFC. Les réponses constituent deux résultats majeurs :
Théorème de Gödel (1938) : Si ZFC est non contradictoire, alors ¬HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.
Théorème de Cohen (1963) : Si ZFC est non contradictoire, alors HC n'est pas prouvable à partir de ZFC.
Il serait toutefois erroné de retenir que le problème du continu ne peut être résolu. La conclusion n'est pas que l'hypothèse du continu n'est ni vraie, ni fausse, mais, simplement, que le systèm … ]
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