4. Théories des nombres
Comme algébriste, Fermat garde toute son originalité, en particulier dans sa méthode d'élimination des radicaux dans une équation et dans son mémoire de 1661 sur les équations de la division des arcs de cercle en parties égales. Il fait apparaître dans ce mémoire, pour la première fois, une analogie entre fonctions circulaires et fonctions exponentielles.
Mais le domaine où il triomphe est celui de l'analyse indéterminée. Les mathématiciens du xvie siècle avaient retrouvé les livres arithmétiques de Diophante. Xylander les avait traduits en latin et S. Stevin en français. R. Bombelli, Gosselin, Viète s'en étaient inspirés dans leurs travaux. Le mathématicien et humaniste Bachet de Méziriac donnait en 1621, à Paris, le texte grec des huit livres arithmétiques, accompagné d'une traduction latine et d'un abondant commentaire. Fermat se passionna pour l'analyse diophantienne. Son exemplaire de la traduction de Xylander existe encore. Mais celui de l'édition de Bachet, enrichi de ses propres notes manuscrites, a disparu, détruit probablement en 1670, pour la réimpression.
Dans ces notes et dans certaines de ses lettres, il fonde la théorie moderne des nombres. Ses successeurs immédiats seront Euler et Lagrange auxquels, par ses écrits posthumes de 1670 et 1679, il insufflera son enthousiasme.
Il crée la technique de la « descente infinie », qui s'appuie sur l'induction complète et reste féconde en théorie des nombres. Il inaugure l'étude des formes quadratiques. Il donne son « petit théorème » : Pour tout p premier et pour tout a entier, ap ≡ a modulo p. Il énonce son équation, dite parfois de Pell-Fermat : Pour tout a entier non carré, l'équation ax2 + 1 = y2 (x et y entiers) admet une infinité de racines. Surtout, il indique dans ses notes sur Diophante : Pour tout n entier supérieur à 2, l'équation xn + yn = zn est impossible en nombres entiers. Ce « grand théorème » de Fermat sera, à partir d'Euler, un puissant stimulant pour les chercheurs en théorie des nombres (cf. Le « grand théorème » de Fermat).
Dans le domaine voisin de l'analyse combinatoire, il a […]
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