Diophante d'Alexandrie, vers les années 250 de notre ère, fut le premier à rechercher systématiquement les solutions en nombres entiers, ou rationnels, d'une équation ou d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers. Bien que ce ne soit qu'avec Fermat (1601-1665) que les méthodes utilisées pour résoudre ces équations prirent un aspect vraiment arithmétique, c'est-à-dire faisant pleinement intervenir la factorisation des nombres entiers, une longue tradition appelle équation diophantienne la donnée d'un système d'équations polynomiales à coefficients entiers :
à résoudre en nombre entiers, ou rationnels,
x1, ...,
xn.
Selon que l'on veut résoudre en nombre entiers ou rationnels, les méthodes et les résultats diffèrent souvent sensiblement.
Des méthodes générales existent pour résoudre un système d'équations du premier degré, ou encore une équation du second degré. On dispose encore de méthodes pour étudier uneéquation du trois […]
Autres références
« DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS » est également traité dans :
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ARITHMÉTIQUES (Diophante)
Auteur :
Bernard PIRE
*Diophante d'Alexandrie, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage lesArithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de…
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BAKER ALAN (1939- )
Auteur :
Bernard PIRE
de la théorie des nombres, il a montré l'existence de bornes effectives sur les solutions des *équations diophantiennes : les solutions (x,y) d'une équation de la forme f(x,y) = m, où m est un entier positif et f une forme binaire irréductible de degré supérieur à 3, sont…
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CASSELS JOHN WILLIAM SCOTT (1922- )
Auteur :
Bernard PIRE
en 1959 dans une publication intitulée An Introduction to the Geometry of Numbers. *Il s'intéresse aux équations diophantiennes et prouve de façon originale en 1953 l'impossibilité de l'équation y2 + 1 = xp lorsque x est supérieur à 1 et que p est un nombre premier impair. Il…
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CATALAN ÉQUATION DE
Auteur :
Maurice MIGNOTTE
*Dans une note publiée au Journal de Crelle en 1844, le Belge Eugène Catalan (1814-1894), alors répétiteur à l'École polytechnique, proposait l'énoncé suivant : « Il n'existe que deux nombres entiers consécutifs qui soient également des puissances parfaites, et ces deux nombres sont 8 et 9 ». L'expression algébrique de cette conjecture est…
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DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)
Auteur :
Bernard PIRE
*Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xn + yn = zn n'…
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Bibliographie
Z. I. Borevith & I. R. Chafarevitch, Théorie des nombres, trad. J.-L. Verley, Gauthier-Villars, 1967
J. W. S. Cassels, Rational Quadratic Forms, Academic Press, San Diego (Calif.), 1979
A. Faisant, L'Équation diophantienne du second degré, Hermann, 1991
R. Guy & H. Croft, Unsolved Problems in Number Theory, Springer Verlag, New York-Berlin, 1981
G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ., New York, 5e éd. 1979
M. Hindry, « Géométrie et équations diophantiennes », in Leçons de mathématiques d’aujourd’hui, vol. 2, Cassini, Paris, 2003
K. Ireland & M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1990
Yu. I. Manin, Cubic Forms : Algebra, Geometry, Arithmetic, Elsevier Science Publ., New York, 1986
J. P. Michon, Équations diophantiennes, vol. I, E.S.T., 1989
P. Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer Verlag, New York-Berlin, 1979.
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