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FERMAT PIERRE DE (1601-1665)

Calcul infinitésimal

Dès 1629, Fermat, dans sa Méthode de recherche des maximums et des minimums, apparaît comme un précurseur du calcul différentiel. Voici, en langage plus moderne, cette méthode : Si R(x) est une fonction rationnelle de x, l'équation R(x) = K a généralement au moins deux racines a et a + e. Une valeur extrémale de R a lieu pour un x compris entre a et a + e. On développera par rapport à e l'équation R(a) = R(a + e). La racine e = 0 est ainsi mise en évidence. On simplifie par e, puis on fait e = 0. On obtient une équation rationnelle P(a) = 0, dont les racines donnent les extrémums cherchés.

Parmi les applications que Fermat fit de sa méthode, la plus géniale est la détermination des tangentes. Soit P(x, y) = 0 l'équation d'une courbe passant par le point M de coordonnées x0, y0. Si y = px + q est l'équation de la tangente en M, Fermat exprime que pour x = x0, le polynôme P(x, px + q) passe par un extrémum. Il peut ainsi déterminer les coefficients p et q. Cette méthode, qu'il fit connaître en 1638, ne fut pas immédiatement comprise par Descartes. La polémique qui s'éleva à ce sujet entre les deux mathématiciens est une des plus célèbres et des plus dures du xviie siècle. Mais les procédés des deux antagonistes, qui, en dernière analyse, reviennent au même, ne pouvaient s'appliquer qu'aux courbes algébriques. En postulant, dès 1640, que l'on doit assimiler un arc infiniment petit de toute courbe avec le segment correspondant de la tangente, Fermat se libère de cette contrainte. G. Roberval ayant, en 1636, soulevé la question des points d'inflexion, il montre que sa méthode des maximums et minimums permet de trouver ces points. Il suffit en effet d'exprimer que la pente de la tangente passe par un extrémum.

Sa contribution à la création du calcul intégral est, elle aussi, considérable. Il est, dès 1636, d'une grande maîtrise dans les méthodes archimédiennes. Il a déjà généralisé la notion de spirale, il a carré la spirale ρ = aω2 et il sait carrer les paraboles y = axm, pour tout m entier positif. Plus tard, il donne une méthode logarithmique d'intégration qui lui a peut-être été inspirée par les travaux de Roberval et de Torricelli. Elle lui permet la quadrature des paraboles yp = axq et des hyperboles ypxq = a. Il ébauche un algorithme général d'intégration qui, s'il n'aboutit pas, préfigure les travaux de Newton et de Leibniz et auquel il semble avoir été conduit par les recherches de la jeune génération des Pascal, Wallis, Huygens et de leurs émules.

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Écrit par

  • : chargée de recherche au C.N.R.S., université de Paris-Sud, Orsay
  • : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences
  • Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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Classification

Pour citer cet article

Universalis, Catherine GOLDSTEIN et Jean ITARD. FERMAT PIERRE DE (1601-1665) [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )

Autres références

  • FERMAT : DÉTERMINATION DES TANGENTES À UNE COURBE

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 177 mots

    Magistrat exerçant à Toulouse et à Castres, Pierre de Fermat (1601-1665) consacrait aux mathématiques ses moments de loisirs. En 1629, il invente une méthode de recherche des maximums et des minimums qui apparaît comme un travail précurseur du calcul différentiel. En 1638, l'application de...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    En 1637, le Français Pierre de Fermat énonce la conjecture suivante : « Il n’existe pas de solution entière pour l’équation xn + yn = zn quand n est strictement plus grand que 2.  » Pour n = 2, par exemple, avec le triplet (x,y,z) = (3,4,5), on a bien 9 + 16 = 25. C’est ensuite,...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    Dérivées et intégrales - crédits : Planeta Actimedia S.A.© Encyclopædia Universalis France pour la version française.
    ...sortiront les premiers éléments du calcul différentiel. Disciple de Viète, rénovateur de l'algèbre et grand connaisseur des œuvres de l'Antiquité, Fermat, dès 1630, a découvert une règle pour la détermination des extrémums des fonctions algébriques ; cette règle est fondée sur le fait évident que,...

  • DÉMONSTRATION DU GRAND THÉORÈME DE FERMAT (A. J. Wiles)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 194 mots
    • 1 média

    Dans un article intitulé « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat », Andrew John Wiles (né en 1953) donne la première démonstration intégrale du grand théorème de Fermat. En 1630, Pierre de Fermat avait affirmé que l'équation xn + yn = zn n'admet...

  • DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS

    • Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE, Marcel DAVID, Universalis
    • 6 121 mots
    • 1 média
    Pierre de Fermat (1601-1665) fut un mathématicien d'une érudition extraordinaire (géométrie analytique, fondements du calcul infinitésimal, lois de l'optique, fondements du calcul des probabilités et surtout théorie des nombres). Malheureusement, presque tous ses théorèmes étaient donnés...
  • Afficher les 7 références

Voir aussi

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