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QUADRATIQUES FORMES

La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.

1.  Généralités

En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :

quels que soient x et y dans M, λ et μ dans A. En donnant à λ et μ les valeurs 0 ou 1, on voit aussitôt que :
et :
en  exprimant  de  plusieurs  manières Q(x + y + z), pour xy et z dans M, on voit sans peine que l'expression :
est symétrique en xy et z et que l'on a par suite :

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Pour citer cet article

Jean DIEUDONNÉ, « QUADRATIQUES FORMES  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/formes-quadratiques/

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ALGÉBRIQUES STRUCTURES

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Espèces de structures de caractérisation typique S ∈ P((A×A)×A) × P((A×A)×A) × P((E×E)×E) × P((A×E)×E)) × P((E×E)×A)"  : …  soit ϕ-isotrope soit le sous-K-espace vectoriel nul de VE. *À toute forme KVE-bilinéaire ϕ peut être associée une forme KVE-quadratique Φ, application de E dans K définie par : 

 Soit… Lire la suite
CONIQUES

Écrit par :  UniversalisAndré WARUSFEL

…  peu vieillot des théorèmes sur les coniques, qui ont été réduites à un chapitre de la théorie des *formes quadratiques. Une conique apparaît aujourd'hui comme une courbe non vide du plan projectif, définie par une équation Q(x, y, t) = 0, où Q est une forme quadratique en les coordonnées homogènes x, y, t ; cette définition est… Lire la suite
EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837,… Lire la suite
GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

Écrit par :  Pierre COSTABELJean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Le calcul sur les objets abstraits"  : …  Disquisitiones arithmeticae, art. 26 et 31). Dans la théorie de la composition des classes de *formes quadratiques, qui lui est entièrement due, il est beaucoup plus net encore ; Lagrange avait défini une relation d'équivalence entre formes quadratiques binaires à coefficients entiers, deux formes étant équivalentes s'il est possible de… Lire la suite
HECKE ERICH (1887-1947)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… *Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort. Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante partie des mathématiques où se mêlent, depuis Gauss, fonctions elliptiques… Lire la suite
HERMITE CHARLES (1822-1901)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "La théorie arithmétique des formes quadratiques"  : …  Hermite* commence à étendre aux formes positives non dégénérées à un nombre quelconque de variables (« formes définies positives » dans la terminologie classique) l'idée de « réduction » que Gauss avait introduite pour les formes à deux et à trois variables. Par un raisonnement de récurrence élémentaire, il arrive à montrer qu'une telle… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEENJean-Michel KANTORChristian THIEL

Dans le chapitre "Problème 11 : classification des formes quadratiques (à coefficients dans des anneaux d'entiers algébriques)"  : …  permet de passer de l'une à l'autre). Par exemple, on sait bien (théorème de Sylvester) que toute *forme quadratique sur Rm (qu'on suppose, pour simplifier, non dégénérée) est équivalente à une forme du type : Au moment de son discours de Paris, Hilbert disposait déjà de la classification sur Z et d'un plan de… Lire la suite
HURWITZ ADOLF (1859-1919)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des… Lire la suite
LAGRANGE JOSEPH LOUIS (1736-1813)

Écrit par :  Jean ITARD Universalis

Dans le chapitre "L'œuvre de Lagrange"  : …  dans ses Recherches arithmétiques parues en 1775 et 1777, il fonde la théorie des formes *quadratiques. Un de ses outils préférés est l'algorithme des fractions continues, auquel on préfère actuellement la terminologie de fractions continuée, dont il donne une belle théorie dans ses additions à l'Algèbre d'Euler parue, en 1773,… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Structure du groupe multiplicatif Q*p"  : …  il existe ou non un élément non nul de (Qp)3 qui annule la *forme quadratique Z2 − aX2 − bY2 (cf. divisibilité, théorie des nombres - Nombres algébriques, formes quadratiques). À l'aide du symbole de Hilbert, on définit un invariant… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Périodes"  : …  le quadruple d'un nombre premier n de la forme 3 m + 1 est représenté par la *forme quadratique x+ 27 y2 (cf. formes quadratiques) ; comme il est facile de voir qu'une telle représentation est unique, elle donne, inversement, un moyen de déterminer les entiers aLire la suite
QUADRIQUES

Écrit par :  André WARUSFEL

Dans le chapitre "Quadriques et formes quadratiques"  : …  – permit surtout de placer la théorie des quadriques dans son véritable cadre : celui des *formes quadratiques. Conformément à une tendance actuelle, l'étude détaillée des coniques et des quadriques est aujourd'hui délaissée au profit de la notion plus générale d'hyperquadrique, définie comme un ensemble de droites… Lire la suite
SIEGEL CARL LUDWIG (1896-1981)

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

… *Mathématicien allemand, né à Berlin et mort à Göttingen, dont les travaux portent principalement sur la théorie des nombres et les fonctions automorphes. Carl Ludwig Siegel fut l'élève de G. F. Frobenius ; il enseigna aux universités de Francfort et de Göttingen et fut membre de l'Institute for Advanced Study de Princeton à partir de 1940, ayant… Lire la suite
VOEVODSKY VLADIMIR (1966- )

Écrit par :  Antoine CHAMBERT-LOIR

… de cohomologie à partir d'une d'entre elles, liées par une famille de relations (relations d'Adem). *C'est peut-être là l'apport principal de Voevodsky et ces opérations ont d'ailleurs eu d'autres applications en théorie des formes quadratiques. Comme en topologie algébrique, la construction des opérations de Steenrod nécessite celle d'une « théorie… Lire la suite

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