La notion de forme quadratique intervient dans toutes les parties des mathématiques. Elle est à la base de la géométrie euclidienne et de la mécanique classique (énergie cinétique), et aussi de la notion d'espace de Hilbert, de la théorie spectrale et de leurs nombreuses applications à l'analyse fonctionnelle (équations différentielles, aux dérivées partielles ou intégrales). Elle est étroitement liée au concept de dualité. Enfin, l'étude arithmétique des formes quadratiques a été le point de départ de la théorie des nombres algébriques et a eu d'importantes répercussions sur la théorie des fonctions automorphes.
1. Généralités
En algèbre classique, on appelle « forme n-aire de degré r » un polynôme homogène de degré r par rapport à n variables ; pour r = 1, on dit « forme linéaire » et, pour r = 2, on dit « forme quadratique ». Dans la mathématique actuelle, on généralise la notion de forme quadratique comme on a généralisé celle de forme linéaire (cf. algèbre linéaire) : étant donné un anneau commutatif A et un A-module M, on considère les applications Q de M dans A qui vérifient une relation de la forme :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 9 pages…
