2. Géométrie
Une des premières œuvres de Pierre de Fermat fut une reconstitution des Lieux plans d'Apollonios, d'après l'analyse qu'en avait faite Pappus dans sa Collection mathématique. Le second livre a dû être rédigé avant 1629 et le premier au plus tard en 1636. Les lieux plans sont des lieux formés uniquement de droites et de cercles. Le thème du premier livre peut se résumer ainsi : les homothéties, déplacements, similitudes et inversions transforment un lieu plan en un lieu plan. Le second livre étudie les lieux des points dont la différence ou le rapport des carrés des distances à deux points donnés est donné, ou dont les carrés des distances à plusieurs points ont entre eux une relation linéaire, etc.
Il y a lieu de citer plus particulièrement la proposition : si les distances d'un point à des droites données ont entre elles une relation affine, ce point est sur une droite donnée. La démonstration de Fermat, d'aspect synthétique, est laborieuse. Mais, le 26 avril 1636, en possession de sa géométrie analytique, il constate que la nouvelle technique eût de beaucoup abrégé ses recherches, et il ne regrette pas ses efforts : « Il y a en effet pour la science un certain intérêt à ne pas dérober à la postérité les travaux encore informes de l'esprit ; l'œuvre d'abord simple et grossière se fortifie et grandit par les nouvelles inventions. Il est même important pour l'étude de pouvoir contempler pleinement les progrès cachés de l'esprit et le développement spontané de l'art. »
Le traité sur les contacts sphériques est difficile à dater. Il généralise à l'espace la reconstitution par Viète du traité d'Apollonios sur les contacts. Il concerne la construction d'une sphère tangente à quatre sphères données.
Doivent être datées de cette première période, où Fermat est surtout disciple des Anciens, sa construction d'une parabole passant par quatre points donnés, antérieure à 1635, et sa démonstration du « lieu à trois droites », problème analogue au « lieu à quatre droites » de Pappus qui joue un rôle […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 6 pages…
