4. Théorie des jeux et mathématiques économiques
Bien que certains jeux stratégiques aient été abordés par E. Borel, c'est von Neumann et son collègue de Princeton, l'économiste autrichien O. Morgenstern, qui sont les véritables créateurs de la théorie mathématique des jeux avec leur célèbre Theory of Games and Economic Behavior (1944) : cet ouvrage contient le résultat central de la théorie, le théorème du minimax. Ce volumineux traité avait été préparé par un article de von Neumann où, dès 1928, il posait les fondements conceptuels de son approche (cf. théorie des jeux, hasard).
Le problème du choix d'une stratégie est lié à la notion de « résultat le plus favorable » qui est une notion délicate (cf. théorie des jeux, ), et von Neumann fut amené à se pencher en mathématicien sur la notion d'« utilité ». On lui doit le théorème suivant, qu'on énoncera explicitement car il joue un rôle important dans les sciences humaines.
• Existence d'une fonction d'utilité
Soit X un ensemble sur lequel on a défini une « relation de préférence » ≻ telle que :
(1) Quels que soient x, y ∈ X, on a une, et une seule, des trois situations x = y, x ≻ y ou y ≻ x ;
(2) Si x ≻ y et y ≻ z, alors x ≻ z. On suppose qu'il existe une opération qui, à tous x, y ∈ X et à tout nombre réel α, 0 < α < 1, fait correspondre un élément de X noté (formellement) αx + (1 − α)y, avec les propriétés :
(5) Si x ≻ y, alors x ≻ αx + (1 − α)y ≻ y pour tout α ;(6) Si x ≻ y ≻ z, alors il existe α et β tels que :
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