3. Mathématiques et physique théorique
Le programme formaliste de Hilbert allait être illustré avec un succès éclatant dans l'axiomatisation de la mécanique quantique réalisée par von Neumann de 1927 à 1929. Les résultats de ces travaux sont rassemblés dans Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, publié en 1932, ouvrage qui est devenu un grand traité classique.
Von Neumann prend l'espace de Hilbert comme cadre mathématique pour exprimer les concepts quantiques sur la nature des mesures en physique, les opérateurs de l'espace de Hilbert correspondant aux « observables » de la physique relativiste. Les opérateurs qui s'introduisent ainsi sont hermitiens mais non bornés, donc ne sont pas redevables de la théorie classique de Hilbert (cf. théorie spectrale). Von Neumann étendit la théorie spectrale aux opérateurs non bornés auto-adjoints, tandis que le cas général le conduisait à une étude mathématique détaillée des transformations symétriques non auto-adjointes. Dans un article de 1929, il introduit et décrit en détail les algèbres d'opérateurs appelées de nos jours W*-algèbres ou aussi « algèbres de von Neumann ». Les tentatives d'utilisation des treillis dans la classification des facteurs des algèbres d'opérateurs le conduisirent à des recherches sur la théorie des treillis ; on lui doit dans ce domaine les deux notions importantes de géométries continues et d'anneaux réguliers.
Dès 1927, von Neumann donne une analyse mathématique de la mécanique quantique en des termes entièrement probabilistes : le concept de matrice statistique de von Neumann, pour décrire simultanément plusieurs systèmes qui ne sont pas au même niveau quantique, est devenu un outil essentiel. Il utilise ces toutes nouvelles notions pour fonder mathématiquement la thermodynamique quantique. Ce sont des problèmes issus de la thermodynamique qui le conduisirent, en 1931, presque simultanément avec G. Birkhoff, à élaborer la théorie ergodique sous sa forme moderne.
Pour replacer l'œuvre de von Neumann dans son contexte […]
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