2. Logique mathématique
La deuxième publication de von Neumann, alors à peine âgé de vingt ans, est consacrée à un exposé, dans le système axiomatique de Zermelo, de la théorie des ordinaux. Les définitions vagues de Cantor sont remplacées par une construction précise qui évite l'introduction des types d'ordre : un nombre ordinal apparaît comme l'ensemble de tous les nombres ordinaux plus petits. Par un article de 1928 l'auteur reprendra cette étude dans un contexte axiomatique élargi.
Une série d'articles, échelonnés de 1925 à 1929, est consacrée à l'axiomatisation de la théorie des ensembles. Dans Die Axiomatisierung der Mengenlehre (1928), von Neumann propose une axiomatisation remarquablement concise et simple de la théorie naïve qui repose sur la notion d'objet de premier type (les ensembles) et de second type (les propriétés des ensembles). Il dégage clairement le rôle de l'axiome de fondation (cf. ensembles-Théorie axiomatique).
La dernière publication de von Neumann sur la théorie des ensembles (1929) introduit un important axiome qui, moyennant les axiomes primitifs usuels des théories classiques, entraîne l'axiome du choix. Cet axiome de von Neumann peut s'énoncer ainsi : une propriété d'ensembles définit un ensemble d'ensembles à la seule condition qu'il n'existe pas de correspondance biunivoque entre les ensembles qui possèdent la propriété considérée et tous les ensembles.
De cette première période de l'œuvre de von Neumann, mentionnons aussi, avant d'aborder sa contribution fondamentale à l'axiomatisation de la mécanique quantique, un important article de 1927 consacré à la non-contradiction des mathématiques (dans le cadre des méthodes finitistes de Hilbert) et des travaux sur la « pathologie » de la théorie de la mesure : extension à des groupes assez généraux des résultats de F. Hausdorff, S. Banach et A. Tarski sur la mesure universelle et les décompositions paradoxales de la sphère. Von Neumann s'est d'ailleurs intéressé toute sa vie à la théorie de la mesure et on lui doit des démonstrations de l'existence de la mesure de Haar sur un groupe localement compact et du théorème de Radon-Nykodym sur la « dérivation » d'une mesure par rapport à une autre.
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