MERSENNE NOMBRES DE

Un nombre de Mersenne est un nombre entier naturel de la forme 2ⁿ – 1, où n est un nombre entier naturel. Ces nombres ont été nommés ainsi en l'honneur du Français Marin Mersenne (1588-1648), qui en avait entrepris l'étude.

Pour qu'un tel nombre, généralement noté M_n, soit premier (c'est-à-dire n'ait pas d'autre diviseur que 1 et lui-même), il faut que n (appelé l'indice de M_n) soit un nombre premier, mais cette condition n'est pas suffisante (M₁₁, par exemple, n'est pas premier, bien que 11 le soit).

Le mathématicien français François Édouard Lucas (1842-1891) prouva en 1876 la primalité de M₁₂₇ (qui resta jusqu'en 1952 le plus grand nombre premier connu et est encore le plus grand nombre de Mersenne dont la primalité a été prouvée sans ordinateur) et proposa en 1878 un test de primalité des nombres de Mersenne, dont la validité fut démontrée dans les années 1930 par le mathématicien américain Derrick Henry Lehmer (1905-1991) et qui s'appelle en conséquence test de Lucas-Lehmer : si p est un nombre premier, M_p est premier si et seulement si M_p divise S_p, où S_p appartient à la suite (S_n) définie par récurrence par S₂ = 4 et S_n = (S_n – 1)²– 2. Par exemple, S₃ = 14 et M₃ = 7 divise 14.

Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si M_p est un nombre de Mersenne premier, alors 2^p – 1 (2^p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.

On connaît donc autant de nombres parfaits pairs que de nombres de Mersenne premiers. Mais on ne sait ni s'il existe des nombres parfaits impairs, ni s'il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers, et la recherche de ceux-ci est très difficile.

Nous ne connaissons en effet que quarante-quatre nombres de Mersenne premiers. Les valeurs des plus petits sont : M₂ = 3 ; M₃ = 7 ; M₅ = 31 ; M₇ = 127 ; M₁₃ = 8 191 ; M₁₇ = 131 071 ; M₁₉ = 524 287 ; M₃₁ = 2 147 483 647 ; M₆₁ = 2 305 843 009 213 693 951 ; M₈₉ = 618 970 019 642 690 137 449 562 111 ; M₁₀₇ = 162 259 276 829 213 363 391 578 010 288 127 ; M₁₂₇ = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. Le plus grand a été découvert en septembre 2006 : il s'agit de M_{32 582 657}, qui s'écrit en base dix avec 9 808 358 chiffres et est aussi le plus grand nombre premier connu. Comme pour les neuf précédemment découverts depuis 1996, la primalité de ce nombre a été démontrée grâce au Great Internet Mersenne Prime Search (G.I.M.P.S.), programme de recherches fondé en janvier 1996 par l'informaticien américain George Woltman (né en 1957) et permettant des calculs partagés sur des dizaines de milliers d'ordinateurs reliés par Internet.

En ce début de xxi^e siècle, la recherche de nombres premiers toujours plus grands s'oriente principalement vers les nombres de Mersenne, qui accèdent ainsi au vedettariat.

— Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN