GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE)

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La conjecture de Goldbach est issue d'un échange de lettres entre Goldbach et Euler datant de 1742. Elle affirme que tout nombre pair ≥ 4 est somme de deux nombres premiers. Elle admet comme conséquence le fait que tout nombre impair ≥ 7 est somme de trois nombres premiers, énoncé qui est connu sous le nom de conjecture de Goldbach ternaire. La conjecture de Goldbach résiste encore à tous les efforts pour la démontrer, bien que Chen (1966) ait réussi à prouver que tout nombre pair assez grand est somme d'un nombre premier et d'un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.

La conjecture de Goldbach ternaire est plus facilement abordable : Vinogradov (1937) a prouvé que tout nombre impair suffisamment grand est somme de trois nombres premiers. Mais la borne fournie par la méthode de Vinogradov était beaucoup trop grande, malgré les améliorations ultérieures (le meilleur résultat, dû à Liu et Wang [2002], est que tout nombre ≥ 2 × 101 346 est somme de trois nombres premiers), pour qu'on puisse espérer vérifier le résultat général, même avec l'aide de tous les ordinateurs de la planète (il faudrait descendre à 1040 pour espérer y arriver). Tout a changé en mai 2013, quand le mathématicien péruvien Harald Helfgott, chercheur au C.N.R.S. détaché au département de mathématiques de l'École normale supérieure, a réussi à faire descendre cette borne à 1029, et à vérifier par ordinateur, avec l'aide de son collaborateur David Platt, que tout nombre impair ≤ 8 875 × 1030 est somme de trois nombres premiers, et donc de démontrer la conjecture de Goldbach ternaire.

La démonstration de Helfgott est l'aboutissement d'une longue série de travaux visant à prouver que tout nombre entier est somme de K nombres premiers. Le premier de ces résultats (Schnirelmann, 1930) ne donnait pas de valeur pour K, et la première valeur explicite a été obtenue par Klimov (1969), avec une valeur astronomique de K (il obtenait K = 6 × 109). En 1995, Ramaré a prouvé que tout nombre pair est somme de six nombres premiers et, en 2012, Terence [...]


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Pour citer l’article

Pierre COLMEZ, « GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE) », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 04 novembre 2019. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/goldbach-ternaire-conjecture-de/