QUADRIQUES

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Quadriques impropres

Il existe onze types différents de quadriques impropres, parmi lesquels on distingue trois familles principales : les cônes, les cylindres et les quadriques décomposées.

Cônes

Les cônes sont obtenus à partir d'un sommet et d'une base, conique non décomposée dont le plan ne contient pas le sommet. Le cône de révolution est l'un d'eux ; on peut l'engendrer par rotation d'une droite autour d'une droite fixe qu'elle rencontre : un cône est constitué de deux nappes, c'est-à-dire de deux parties symétriques limitant des volumes convexes et reliées entre elles par le sommet commun.

Cônes réels

Cônes réels

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Deux aspects d'un cône réel. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Le sommet d'un cône est toujours réel. C'est le seul point de cette espèce si la conique de base est totalement non réelle ; le cône est alors dit imaginaire. Sinon, le cône est réel, et la nature de la conique de départ est sans importance.

Cylindres

Les cylindres sont des cônes dont le sommet est « à l'infini » : ils sont donc obtenus par des droites (génératrices) ayant une direction donnée qui rencontrent une conique non décomposée dont le plan n'est pas parallèle à la direction. Là aussi, le cylindre de révolution (qui sert de base à tant d'éléments architecturaux) en est l'exemple le plus simple.

Suivant que la conique est non réelle, ou une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole, le cylindre est dit imaginaire, elliptique, hyperbolique ou parabolique. Le cylindre de révolution est un cas particulier de cylindre elliptique. Les sections planes sont, en général, des coniques de même genre que la conique de base.

Cylindres parabolique et hyperbolique

Cylindres parabolique et hyperbolique

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Cylindres parabolique et hyperbolique. 

Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Quadriques décomposées

Les couples de plans sont des quadriques à la fois impropres et décomposées ; ce dernier qualificatif signifie simplement qu'il s'agit alors de la réunion de surfaces algébriques d'ordre inférieur à celui de la quadrique : ce sont donc des plans. Il en existe cinq sortes, selon que les deux plans sont réels et sécants, réels et parallèles, non totalement réels (mais transformés l'un en l'autre par une conjugaison des coordonnées) et sécants, non réels et parallèles, ou réels et confondus.

Pour qu'une quadrique soit décomposée, il est nécessair [...]


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Sphères, cylindres et cônes

Sphères, cylindres et cônes
Crédits : Encyclopædia Universalis France

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Cônes réels

Cônes réels
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Cylindres parabolique et hyperbolique

Cylindres parabolique et hyperbolique
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Pour citer l’article

André WARUSFEL, « QUADRIQUES », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 19 janvier 2020. URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/quadriques/