QUADRIQUES
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- Écrit par André WARUSFEL
Quadriques impropres
Il existe onze types différents de quadriques impropres, parmi lesquels on distingue trois familles principales : les cônes, les cylindres et les quadriques décomposées.
Cônes
Cônes réels
Encyclopædia Universalis France
Les cônes sont obtenus à partir d'un sommet et d'une base, conique non décomposée dont le plan ne contient pas le sommet. Le cône de révolution est l'un d'eux ; on peut l'engendrer par rotation d'une droite autour d'une droite fixe qu'elle rencontre : un cône est constitué de deux nappes, c'est-à-dire de deux parties symétriques limitant des volumes convexes et reliées entre elles par le sommet commun.
Le sommet d'un cône est toujours réel. C'est le seul point de cette espèce si la conique de base est totalement non réelle ; le cône est alors dit imaginaire. Sinon, le cône est réel, et la nature de la conique de départ est sans importance.
Cylindres
Les cylindres sont des cônes dont le sommet est « à l'infini » : ils sont donc obtenus par des droites (génératrices) ayant une direction donnée qui rencontrent une conique non décomposée dont le plan n'est pas parallèle à la direction. Là aussi, le cylindre de révolution (qui sert de base à tant d'éléments architecturaux) en est l'exemple le plus simple.
Cylindres parabolique et hyperbolique
Encyclopædia Universalis France
Suivant que la conique est non réelle, ou une ellipse, ou une hyperbole, ou une parabole, le cylindre est dit imaginaire, elliptique, hyperbolique ou parabolique. Le cylindre de révolution est un cas particulier de cylindre elliptique. Les sections planes sont, en général, des coniques de même genre que la conique de base.
Quadriques décomposées
Les couples de plans sont des quadriques à la fois impropres et décomposées ; ce dernier qualificatif signifie simplement qu'il s'agit alors de la réunion de surfaces algébriques d'ordre inférieur à celui de la quadrique : ce sont donc des plans. Il en existe cinq sortes, selon que les deux plans sont réels et sécants, réels et parallèles, non totalement réels (mais transformés l'un en l'autre par une conjugaison des coordonnées) et sécants, non réels et parallèles, ou réels et confondus.
Pour qu'une quadrique soit décomposée, il est nécessaire et suffisant que l'on puisse écrire l'égalité :
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Écrit par
- André WARUSFEL : universitaire
Classification
Pour citer cet article
André WARUSFEL. QUADRIQUES [en ligne]. In Encyclopædia Universalis. Disponible sur : (consulté le )
Article mis en ligne le et modifié le 14/03/2009
Médias
Sphères, cylindres et cônes
Encyclopædia Universalis France
Cônes réels
Encyclopædia Universalis France
Cylindres parabolique et hyperbolique
Encyclopædia Universalis France
Autres références
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DIOPHANTIENNES ÉQUATIONS
- Écrit par Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE , Marcel DAVID et Encyclopædia Universalis
- 6 121 mots
- 1 média
...être des nombres complexes. Parmi celle-ci, on trouve les surfaces non singulières de l'espace ordinaire définies par une équation de degré 2 ( quadriques) ou 3 (surfaces cubiques), mais aussi des équations de degré supérieur, comme :avec a(x) et b(x) des polynômes non nuls de degré quelconque....
-
GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE
- Écrit par Paulette LIBERMANN
- 6 997 mots
- 12 médias
Comme exemples importants de surfaces régulières, on a notamment les quadriques (à l'exclusion du cône) définies par une équation :où f est un polynôme de degré 2, par exemple l'hyperboloïdeà une nappe :
il admet la représentation paramétrique :
qui n'est pas régulière, car...
-
PONCELET JEAN VICTOR (1788-1867)
- Écrit par Jacques MEYER
- 405 mots
Militaire et mathématicien français né à Metz et mort à Paris. Après avoir été l'élève de Gaspard Monge à l'École polytechnique, Jean Victor Poncelet commença une carrière militaire. Lieutenant du génie, il prit part à la campagne de Russie, où il fut fait prisonnier et relégué...
