QUADRIQUES

Problèmes tangentiels

Les dix-sept variétés de quadriques donnent une idée assez complète des différentes formes que peuvent prendre les surfaces de l'espace usuel. Paraboloïde hyperbolique et hyperboloïde à une nappe fournissent des exemples très simples de surfaces qui traversent leurs plans tangents (ce qui n'est pas le cas de la sphère ou du cylindre de révolution, par exemple).

Une étude assez simple, fondée sur la théorie des valeurs et des vecteurs propres d'une matrice réelle symétrique, permet de déterminer les plans qui coupent une quadrique suivant des cercles. Ces plans sont parallèles entre eux (on se limite à des plans réels). Certains plans limites sont tangents à la surface en des points appelés ombilics. Il y en a deux pour un ellipsoïde réel non sphérique, deux pour un hyperboloïde à une nappe, deux pour un paraboloïde elliptique. Il existe des cas particuliers ; par exemple, tous les points d'une sphère sont des ombilics.

Les quadriques propres sont non seulement des ensembles de points soumis à des conditions du second degré, mais aussi des enveloppes de plans dont les paramètres annulent un polynôme homogène du second degré, autre forme quadratique attachée à la surface. Aussi dit-on que ces quadriques sont des enveloppes de seconde classe. Un cône, par exemple, ne répond pas à cette définition, car il possède deux équations tangentielles au lieu d'une.

Les quadriques généralisent donc étroitement les propriétés affines et projectives des coniques. Il faut noter toutefois que, hormis les quadriques de révolution, obtenues par simple rotation d'une conique autour d'un axe, il n'existe pas de concept analogue à ceux de foyers et de directrices pour les coniques. Ces notions métriques sont donc directement liées à la structure particulière du plan. Sans doute cela provient-il, comme pour la plupart des résultats non généralisables si la dimension de l'espace excède deux, de la structure des rotations planes dont le groupe cesse d'être commutatif lorsque la dimension passe de deux à trois.