OPÉRATION, mathématique

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Une définition formelle du concept d'application est la suivante : une application f d'un ensemble A dans un ensemble B est une partie du produit cartésien A × B [c'est-à-dire des couples (xy) où x décrit A et y décrit B], telle que, pour tout élément a de A, il existe un b et un seul de B, noté b = f(a), tel que (ab) appartienne à f.

Dans le cas particulier où A est lui-même un produit cartésien, donc où A = E × F, une application f de A dans B est notée sous la forme c = f(ab) [en toute rigueur, on devrait écrire f((ab)) mais cette notation est abandonnée en raison de sa lourdeur]. Elle prend alors le nom d'opération ou, si l'on veut être tout à fait précis, d'opération partout définie. Un exemple très important est celui où E est le corps des réels, et où F = B est un espace vectoriel réel, avec le « produit d'un vecteur b par un scalaire [un nombre] a », encore appelé produit externe ; c'est le vecteur habituellement noté c = a.b, par extension naturelle du cas plus particulier où E = F = B = ℝ pour lequel l'opération précédente n'est autre que la multiplication usuelle. Rappelons que, par définition, le vecteur a.b n'est autre que l'image de b par l'homothétie de centre 0 (l'élément neutre pour l'addition de l'espace vectoriel F) et de rapport a. Ces deux vecteurs b et a.b sont donc proportionnels entre eux.

Un autre nom pour opération est loi de composition, externe si E et F sont différents, interne dans le cas contraire.

Si l'on a toujours E = F = B (sans que cet ensemble soit nécessairement le corps des réels), on retrouve ainsi ce que l'usage attache au mot opération ; l'égalité générique c = f(ab) est très souvent remplacée dans la pratique par une écriture de la forme c = a ∗ b, où le signe ∗ peut être, par exemple, le signe + ou le signe ×. C'est surtout dans ce cas que l'on parle de loi de composition.

Les propriétés que peuvent avoir les opérations sont bien connues. Le cas général, où une opération est tout simplement une application à deux variables, ne relève pas de l'algèbre, mais de l'analyse, où son rôle est éminent. Mais, dans ce cas, la terminologie d'opération ou de loi de composition, théoriquement sensée, n'est pas employée.

Nous nous limiterons donc, à titre d'exemple, aux deux cas déjà cités : le produit d'un vecteur par un nombre, et une loi ∗ interne à un ensemble E.

Dans le premier cas, cette loi possède des propriétés qui la rendent très féconde, parmi lesquelles les suivantes :

– a.(b + b') = a.b + a.b' (distributivité à droite de l'opération produit extérieur par rapport à l'addition) ;

– (a + a').b = a.b + a'.b (distributivité à gauche de l'opération produit extérieur par rapport à l'addition) ;

– (aa').b = a.(a'.b) (propriété mixte par rapport à l'addition) ;

– 1.b = b (existence d'un élément neutre à gauche) ;

– a.0 = 0 (existence d'un absorbant à droite).

Bien entendu ces relations sont fondamentales pour la théorie des espaces vectoriels ; leurs conséquences sont nombreuses, parmi lesquelles – (a.b) = (– a).b et, plus généralement, toute la théorie des combinaisons linéaires d'une famille de vecteurs.

L'autre cas (E = F = B) est le plus courant lorsque l'on parle d'une opération interne, que nous noterons ∗.

Une telle loi est commutative si elle vérifie l'égalité a ∗ b = b ∗ a pour tout couple (ab) de E × E. C'est évidemment le cas pour l'addition ou la multiplication dans les entiers ou les nombres réels. Les exemples de lois non commutatives sont plus rares, même s'ils sont parfois du plus haut intérêt. Nous n'en citerons que deux, dont celui de la soustraction, qui est évidemment le plus connu (a – b est différent de b – a sauf dans le cas très spécial où a = b ; on parle alors d'anticommutativité). Le deuxième exemple, de conception très simple, est la composition entre fonctions de E dans E, notée h = f ∘ g (o se lit « rond ») où h(x) = f(g(x)), qui n'est ni commutative ni anticommutative ; sa seule vertu simple, lorsque E est un corps, est sa distributivité à gauche, puisque (f + f') ∘ g = (f ∘ g) + (f' ∘ g), tandis que l'égalité analogue à droite, f ∘ (g + g') = (f ∘ g) + (f ∘ g'), n'est exacte que dans le cas, très particulier, où f est linéaire.

Pour de telles lois internes, l'existence d'un élément e de E tel que a ∗ e = e ∗ a = a est fréquente ; on dit alors que e est un élément neutre (bilatère), et l'existence d'un élément a' tel que a ∗ a' = a'  [...]

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Pour citer l’article

André WARUSFEL, « OPÉRATION, mathématique », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le 11 août 2022. URL : https://www.universalis.fr/encyclopedie/operation-mathematique/